三角形の外角の二等分線と外接円の交点

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

三角形ＡＢＣの外接円Oを考える。∠Aの外角の二等分線が外接円Oと交わる点をPとする。
三角形ＰＢＣがＰを頂点とする二等辺三角形になることを証明しなさい。


【証明開始】

上図の様に、円周角の定理により
∠ＰＡＢ＝∠ＰＣＢ
また、拡張円周角の定理により、
第１の円周角の弦の反対側の弧上の第２の円周角の外角が第１の円周角に等しいので、
∠ＰＡＤ＝∠ＰＢＣ
である。
また、ＡＰは∠Aの外角の二等分線なので、
∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＢ
である。
そのため、
∠ＰＢＣ＝∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＢ＝∠ＰＣＢ
∴　∠ＰＢＣ=∠ＰＣＢ
底辺側の２角が等しいので、三角形ＰＢＣはＰを頂点とする二等辺三角形である。
（証明おわり） 

【別の証明】

直線ＡＰが∠ＢＡＣの外角の∠ＢＡＤの二等分線である。
更に∠ＢＡＣの二等分線が円Ｏと交わる点をＱとする。

∠ＢＡＣの二等分線ＡＰと、その外角の二等分線ＡＱの成す角は、
内角と外角の和の１８０度の半分の９０度になるので、
ＡＰとＡＱの成す角は９０度である。
そのため、三角形ＰＡＱは頂点Ａが直角である直角三角形である。
円Ｏに内接する直角三角形ＰＡＱにおいて、
斜辺ＰＱは円の中心Ｏを通る。

∠ＢＡＣの二等分線ＡＱにおいて、
∠ＢＡＱ＝∠ＣＡＱ
であり、角度の等しい円周角である。
そのため、円Ｏの弧ＢＱ＝ＣＱ
よって、ＯＱは弦の直線ＢＣの垂直二等分線である。
すなわち、ＰＱは、直線ＢＣの垂直二等分線である。
よって三角形ＰＢＣはＰを頂点とする二等辺三角形である。
（証明おわり）

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