複素数平面での軌跡の問題

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【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚを使って、以下の式で表される複素数ｗの、複素数平面で描く軌跡を示せ。


【解答方針】
（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにする。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の変数であらわされた方程式は、複素数の変数を直に変換する計算ではつながない。そうせずに、図形の考察を主にした座標の計算を使えば何とか複素数平面の問題が解けるので、それを第１優先にする。

【解答】
以下の図を描いて考える。

この図から、複素数ｗの、複素数平面で描く軌跡は双曲線になりそうだと予測する。
　次に、以下の計算によって、その予測を確認する。

式(2)の複素数ｗは、式(7)によって、双曲線をあらわすことがわかった。
（解答おわり）
　
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（５）複素数平面での軌跡

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【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１＋ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問２】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１／（１＋ｉ・ｔ）　（式２）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

（解答）

【問１の解】
式１の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝１の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問２の解】
式２の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝０とｚ＝１とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、ｚ＝０の点は通らない。

それを以下で証明する。
（証明開始）
ｚは、 ｚをあらわす複素数平面での点Ｃに関して、
｜ｚ｜＝線分ＯＣ＝１／｜（１＋ｉ・ｔ）｜＝１／線分ＯＡ
であるから、
ＯＣ／ＯＢ＝ＯＢ／ＯＡ
であり、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの辺の長さが△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡから同じ比で縮小されている。
また、
ａｒｇ（ｚ）＝－∠ＢＯＣ＝－ａｒｇ（１＋ｉ・ｔ）＝－∠ＡＯＢ
であるから、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの間の角が、△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡの間の角と等しい。
∴　△ＢＯＣ∽△ＡＯＢ
そのため、
∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＡ＝∠Ｒ＝９０度
∠ＯＣＢは常に９０度なので、
Ｃ点は、ＯＢを直径とする円周上にある。
ただし、式２のｚは０では無いので、ｚ＝０の点は通らない。
（証明おわり）

（別解）
以下のようにして証明することもできる。

（注意）上のようにｔの値にかかわらず｜分子／分母｜＝１となる式、（１－ｉ・ｔ）／（１＋ｉ・ｔ）を作ることがポイント。
よって、

よって、
｜ｚ－（１／２）｜＝１／２
よって、ｚは、値（１／２）を中心にする、半径（１／２）の円上にある。
ただし、ｚは０では無いので、値０にはならない。
（証明おわり）

【一番簡単な方法】
　ここをクリックした先に、（ｉｔ）単体をｚの式であらわして、そのｚの式に（ｉｔ）単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
　
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二重根号を外す因数分解の問題

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【問１】
　以下の式Fを因数分解せよ。


【解１】
　以下のように因数分解する。

Fの式(2)に代入する。

（解答おわり）

【解２】
　以下のように因数分解する。

式(2)の第１項を以下のように因数分解する。

式(2)の第２項を以下のように因数分解する。

式(3)と式(4)をＦの式(2)に代入する。

（解答おわり）

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三角形の底辺aと面積Sと頂角Aから辺の長さを求める

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の三角形の底辺ａの長さと頂角Ａの余弦ｔと面積Sから辺の長さｘ，ｙを求めよ。

　
【解答１】
余弦定理を使って以下のように計算する。

（注意）４次方程式の解き方は、先に「二重根号を外す因数分解の問題」のページを勉強しておいた方が良いと思います。



このｘの解の一方がｘの解であり、他方がｙの解である。
（解答１おわり）

（補足）
ここで、以下の条件の場合は、ｘ，ｙは以下の式になる。

更に、ｋ＝ 1/24になると、ｘはもっと簡単な式で表される。

【解答２】
　以下のように、解の構造を分析して解く解き方もできます。


以上の図のような式で三角形の辺ｂ,ｃがあらわせる。
この辺ｂ，ｃをａ，Ｓ，θで表す計算をする。

ここで、以下の計算でcosαとsinαを計算する。

このcosαとsinαを式(2)(3)に代入して。ｂとｃの解を求める。

（解答２おわり）

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ベクトルの問題は図形を描いて解くこと

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【問１】
　平面上の３つのベクトル

が、

を満たしている。ただし、p,qは正の数でp≠qとする。

を、

を用いて表せ。
（問題おわり）

《解答方針》
　ベクトルの問題は、本質的には、ベクトルという表現手段を使った図形の問題です。
そのため、ベクトルの問題を解く定石は、図を描いて問題を解きます。
　ベクトルの式の演算で解くよりは、図形の定理を使って解を導く方が計算間違いが少ない良い解き方です。

　この問題では、大きな紙に、ベクトルｃを直径とする円を描いて、その図に以下の様にしてベクトルaとベクトルｂを書き込んで行って図を完成させて問題を解く。

【解答】

先ず、大きな紙にベクトルｃを直径とする円を描いて、ベクトルの始点を０とし終点をＣとする。

直線ＯＣを水平線にして描く。
その円周上に、点Ｏからの距離√pの位置に点Ａを置き、

とする。
三角形ＯＡＣが直角三角形になるので、

が成り立つ。
また、
円周上に、点Ｏからの距離√qの位置に点Ｂを置き、

とする。
三角形ＯＢＣが直角三角形になるので、

が成り立つ。
（場合１）上図では、水平線ＯＣの上と下との円周上に点ＡとＢを置いた。
これを場合１とする。

（場合２）下図では、水平線ＯＣの上の円周上に点ＡとＢを置く。
これを場合２とする。

場合２の問題では、後に説明するように、補助線を引いて、平行四辺形ＯＢＡＤを描いて解く。

（場合１）

　ベクトルａとｂが直交する場合を解く。ベクトルｂはベクトルＡＣと等しい。
よって、ベクトルａとｂが垂直な場合では、

が成り立つ。
（場合１の解おわり）

（場合２）

　場合２の問題では、水平線ＯＣの上の円周上に点ＡとＢを置く。ベクトルａとｂは垂直ではない。
　そのように作図すると、ベクトルＢＡが水平線ＯＣに平行になる。それは、ベクトルａの、ベクトルｃに垂直な成分の大きさが、ベクトルｂでのその成分と同じ大きさであることを意味する。そのため、補助線を引いて平行四辺形ＯＢＡＤを描くと、ベクトルＢＡに平行なベクトルＯＤが、ベクトルＯＣに平行になる。
そのため、以下の計算で、ベクトルＯＤの長さを求める。

この値の逆数でベクトルＯＤをベクトルＯＣの長さまで拡大することでベクトルｃが得られる。
よって、ベクトルａとｂが垂直で無い場合に、

が成り立つ。
（場合２の解おわり）

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