整数係数の因数に因数分解できる多項式の因数分解

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の４次式を因数分解せよ。


【解答】
（解答の方針）
　以下のような整数係数の因数の積であらわせると考える。


この方針で、先ず、以下の計算をする。

因数定理により因数が求められた。この因数で因数分解する。


以上をまとめて、元の関数の因数分解を完成させる。

（解答おわり）

《４次式を２次式の積へ因数分解する方法》
　４次式を２つの２次式の積に因数分解する方法を以下に示す。


【問１の第２の解】

（この条件が成り立っていなければ、この解き方での解を見つけるのが難しい）
問１の４次式は、以下のようにして、２次式の積に因数分解する。


（第２の解おわり）

【問２】
　以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。


【解答】

以下のようにして、２次式の積に因数分解する。

（解答おわり）

【問３】
　以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。


【解答】

以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
以下で、式(7)が成り立つように式(6)でｂの値を定める。

（解答おわり）

【問４】
　以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。


【解１】
（この問題のようにｘの４乗の項の係数が１でなければ、このやり方で解を求めるのは難しい）
　ｃの値を順次に変えて、ぴったり合う解になるまで試行する。以下のように、ぴったり合う解を得て、２次式の積に因数分解する。

（解１おわり）

【解２】
　解１では、ｃの値を順次に変えて、ぴったり合う解になるまで試行した。しかし、限られた個数の整数解の候補であっても、その候補の数が多ければ、多くの候補をいちいち確認しなければならない。それでは大変である。それよりは、方程式を解いて整数解を求める方が現実的である。整数解を持つことが分かっている方程式は容易に解ける。そういう方程式を解くことが望ましい。



この式のｓの１つの整数解を求める。その整数解は、式(1)のｘの１つの有理数解を求める場合よりも簡単に求めることができる。

こうして整数解のｃが求められた。

（解２おわり）

《ｘの４乗の項の係数が１では無い場合》
　この場合の整数係数ａ，ｂ，ｃの解も、以下のようにして求められる。


 先ず、この式(10)の整数解ｓを求める。
次に、その整数解ｓを使って以下の計算をする。

この方程式(12)のｚの整数解αとβを求める。
その整数解を使って以下の計算をする。

式(13)で得た比を使って整数ａとｃを求める。そして式(6)(7)を使って、整数ｂを求める。
（解答おわり）

〘補足〙
　以上の解き方は、整数係数の因数の２次式に因数分解する場合だけでなく、一般の４次方程式の解を求める場合にも利用できる。式(10)は３次方程式になった。３次方程式の解の公式を使って式(10)を解くことにして、一般の４次方程式を解くためにも、この方法が使える。

【問１の第３の解】
　問１を、上記の解き方を使って以下の様に解く。

この式(20)のｓの１つの整数解を求める。その整数解は、式(1)のｘの１つの有理数解を求める場合よりも簡単に求めることができる。
そのｓの１つの整数解は以下の値である。


（第３の解おわり）

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因数分解のたすき掛けの解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問３Ｂ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
（解答の方針）
　最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の５にするのが目標。
　すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項２との積(３×２＝６)を計算する。

（第１の処理）
　その積(６)を、＝(３)×(２)という２つの項の積に分割して、その２つの項を足して、ｘの１乗の係数（５）になる、２つの項への分割を求める。
３＋２＝５
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。


【問３Ｃ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】同様にして、以下のように計算する。
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項（－２）との積(３×（－２）＝－６)を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－５）にするのが目標。
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみあわせてたすき掛けして因数分解する。


【問４Ｂ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
（解答の方針）
　最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓを計算する。次に、その積Ｓの値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の５にするのが目標。
　すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１８と、定数項（ー４８）との積Ｓを計算する。

（第１の処理）
　その積Ｓを、項１と項２との積に分割する。
Ｓ＝（項１）×（項２）
その２つの項を足して、ｘの１乗の係数（５）にするのが目標である。
（項１）＋（項２）＝５

（第２の処理）
　次に、以下のように（コツ１）を使って、積Ｓの分割の方針を立てる。
(１) 積Ｓの約数に２が存在する。
その約数２はｘの１乗の係数（５）の約数ではない。
そのため、項２が２の倍数ならば、項１は２の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の

は、分割し得ない１組にする。

(２) 積Ｓの約数に３が存在する。
その約数３はｘの１乗の係数（５）の約数ではない。
そのため、項１が３の倍数ならば、項２は３の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の

は、分割し得ない１組にする。
積Ｓを分割し得る約数の積であらわすと、
Ｓ＝３２×９である。
この積Ｓの、分割し得る数３２と９のうちのいくつかの数の積を項１にし、残りの数の積を項２にする。
そうして、
項１＋項２＝５
にする。
そのようにできる、Ｓの分割は、
Ｓ＝（ー２７）×（３２）
である。
項１＝－２７
項２＝３２
項１＋項２＝５
になった。

（第３の処理）
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてその項１と項２の値になるように、たすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(９ｘ＋１６)(２ｘ－３)，
に因数分解できた。

【問４Ｃ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１と、定数項（－（ｙ＋２）（２ｙ＋３））との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－ｙ－１）にするのが目標。

　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(ｘ＋ｙ＋２)(ｘ－２ｙ－３)，
に因数分解できた。

【問４Ｄ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項（－（ｙ＋２）（２ｙ＋３））との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－ｙ－３）にするのが目標。

　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(３ｘ＋２ｙ＋３)(ｘ－ｙ－２)，
に因数分解できた。

【問８】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解１】
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－４）にするのが目標。

▷目標の（－４）が２の倍数なので、積に分解した２つの項の和が２の倍数の目標になるには、片方の項が２の倍数ならば、残りの項も２の倍数になる。
　そうなる２つの項の組合せは、２と（－３０）、６と（－１０）、の２組しかない。そのうち、２つの項の和がちょうど（－４）になるのは、６と（－１０）の場合である。
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(６ｘ－５)(２ｘ＋１)
に因数分解できた。

【解２】たすき掛けしないで自動的に計算する
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－４）にするのが目標。

　この２つの項が求められたので、以下のように、２つの項に係るｘの１乗の項を２つに分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

【問９】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解１】
　最初に、下図のように、ｘに関する定数項（3(y-1)(y-2)）と、
ｘの２乗の項の係数の（２）との積（６(y-1)(y-2)）を計算する。
そして、その数を、２つの数の積に分解する。
その２つの数の和が、
（目標にする）、ｘの１次の項の係数（５ｙ－８）
になるようにする。

その２つの数は、
2(y-1)=2y-2と、
3(y-2)=3y-6と
が良い。
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝（２ｘ＋３（ｙ－２））（ｘ＋ｙ－１）
に因数分解できた。

【解２】たすき掛けしないで自動的に計算する
　最初に、下図のように、ｘに関する定数項（3(y-1)(y-2)）と、
ｘの２乗の項の係数の（２）との積（６(y-1)(y-2)）を計算する。
そして、その数を、２つの数の積に分解する。
その２つの数の和が、
（目標にする）、ｘの１次の項の係数（５ｙ－８）
になるようにする。

その２つの数は、
2(y-1)=2y-2と、
3(y-2)=3y-6と
が良い。
　この２つの項が求められたので、以下のように、２つの項に係るｘの１乗の項を２つに分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

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