以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問２ａ】
（１）玉●２個と○２個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
【円順列の数の解】
黒玉●と白玉○を並べる席が２＋２＝４箇所あります。
４つの席が固定されているならば、●２つを並べる組み合わせの数は、
4Ｃ2＝４×３／２＝６通り
あります。
席への●と○の１つの配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になりますが、回転させると元の配置に戻るので、円順列では同じ配置が重複して数えられているとみなせます。
（第１のタイプ：1/2回転して元に戻るタイプの配置）＝周期２のタイプ：
２つの黒玉●の配置の形が、１／２回転すると元の形と同じ配置の形になるものがある。
それは下図のような黒玉●の配置の場合です。
この形は、固定席に対して１／４回転ずつ回転すると（固定席に対しては）元の配置とは異なる配置になる。つまり、固定席に対しては、この配置と、それを１／４回転した配置との２個の異なる配置パターンができる（周期が２である）。そのため、このタイプの（席を固定しないで数える）円順列の配置の数は、このタイプの配置の、固定席への配置の数を周期の２で割り算して数える。
（１）詳しくは、この周期２のタイプの配置の、固定席への配置の数は、玉の数を半分にした白玉〇１つと黒玉●１つの配置を数えることで求められる。その数は、
2Ｃ1＝２，
です。
（２）そして、固定席への配置の数を周期の２で割り算した数
２／２＝１，
が、上図の第１のタイプの配置パターンの、（席を固定しないで数える）円順列の数です。
（第２のタイプ：１回転して初めて元に戻るタイプの配置）＝周期４のタイプ：
先に計算した固定席の全ての配置の数は６通りであった。その６通りの配置のうち、第１のタイプの配置以外の配置の数は、６－２＝４通りあり、その配置は、１回転して初めて元にもどる。その配置は、上図のように、元の配置の形から１／４回転ずつで新しい配置パターンが作られる。つまり、０回転、1/4回転、2/4回転、3/4回転との（固定席に対しては）４つの異なる配置パターンが作られる（周期が４である）。この、１回転して初めて元に戻る配置のタイプの（席を固定しないで数える）円順列の配置パターンの数は、そのタイプの固定席に対する配置の数を４で割り算して数える。
（第２のタイプの配置の固定席での配置数）
第２のタイプの配置は、１回転（３６０°の回転）しないと元の形と同じにはならない。
詳しくは、（固定席での）第２のタイプの円順列が回転してできる（固定席の）配置の数は、（全配置の数）－（第１のタイプの配置の数）なので、
（固定席での）第２のタイプの配置の数
＝（固定席での全配置数）－（固定席での第１のタイプの配置の数）
＝（固定席での全配置数）－（第１のタイプの円順列の数×２）
＝4Ｃ2－（１×２）＝６－２＝４
です。
（第２のタイプの配置の円順列の数）
その数を４で割り算することで、第２のタイプの配置の（席を固定しないで数える）円順列の数が得られる。
第２のタイプの配置の円順列の数＝４／４＝１
（全部の円順列の数）
一方、第１のタイプの配置の円順列の数は１個でした。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝１＋１＝２
である。
（円順列の数おわり）
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を半分に分ける線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。
この問題の場合は、どの円順列の配置の円を裏返しても、新しくできる配置も、
裏返す元の配置を回転したのと同じ配置ができます。
ここで円の中心を通る裏返し線を円の中心のまわりに回転させると、
おりかえしてできる配置が円の中心のまわりに回転します。
裏返し線を、２つの●の間を通る位置に設定すれば、
その裏返し線で裏返した配置が、もとの配置と同じ配置になります。すなわち、どの配置も線対称な配置です。
そのため、じゅず順列の数より円順列の数が多くなるということはありません。
ゆえに、じゅず順列の数は、円順列の数と同じ、２組です。
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問２ａ】
（１）玉●２個と○２個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
【円順列の数の解】
黒玉●と白玉○を並べる席が２＋２＝４箇所あります。
４つの席が固定されているならば、●２つを並べる組み合わせの数は、
4Ｃ2＝４×３／２＝６通り
あります。
席への●と○の１つの配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になりますが、回転させると元の配置に戻るので、円順列では同じ配置が重複して数えられているとみなせます。
（第１のタイプ：1/2回転して元に戻るタイプの配置）＝周期２のタイプ：
２つの黒玉●の配置の形が、１／２回転すると元の形と同じ配置の形になるものがある。
それは下図のような黒玉●の配置の場合です。
この形は、固定席に対して１／４回転ずつ回転すると（固定席に対しては）元の配置とは異なる配置になる。つまり、固定席に対しては、この配置と、それを１／４回転した配置との２個の異なる配置パターンができる（周期が２である）。そのため、このタイプの（席を固定しないで数える）円順列の配置の数は、このタイプの配置の、固定席への配置の数を周期の２で割り算して数える。
（１）詳しくは、この周期２のタイプの配置の、固定席への配置の数は、玉の数を半分にした白玉〇１つと黒玉●１つの配置を数えることで求められる。その数は、
2Ｃ1＝２，
です。
（２）そして、固定席への配置の数を周期の２で割り算した数
２／２＝１，
が、上図の第１のタイプの配置パターンの、（席を固定しないで数える）円順列の数です。
（第２のタイプ：１回転して初めて元に戻るタイプの配置）＝周期４のタイプ：
先に計算した固定席の全ての配置の数は６通りであった。その６通りの配置のうち、第１のタイプの配置以外の配置の数は、６－２＝４通りあり、その配置は、１回転して初めて元にもどる。その配置は、上図のように、元の配置の形から１／４回転ずつで新しい配置パターンが作られる。つまり、０回転、1/4回転、2/4回転、3/4回転との（固定席に対しては）４つの異なる配置パターンが作られる（周期が４である）。この、１回転して初めて元に戻る配置のタイプの（席を固定しないで数える）円順列の配置パターンの数は、そのタイプの固定席に対する配置の数を４で割り算して数える。
（第２のタイプの配置の固定席での配置数）
第２のタイプの配置は、１回転（３６０°の回転）しないと元の形と同じにはならない。
詳しくは、（固定席での）第２のタイプの円順列が回転してできる（固定席の）配置の数は、（全配置の数）－（第１のタイプの配置の数）なので、
（固定席での）第２のタイプの配置の数
＝（固定席での全配置数）－（固定席での第１のタイプの配置の数）
＝（固定席での全配置数）－（第１のタイプの円順列の数×２）
＝4Ｃ2－（１×２）＝６－２＝４
です。
（第２のタイプの配置の円順列の数）
その数を４で割り算することで、第２のタイプの配置の（席を固定しないで数える）円順列の数が得られる。
第２のタイプの配置の円順列の数＝４／４＝１
（全部の円順列の数）
一方、第１のタイプの配置の円順列の数は１個でした。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝１＋１＝２
である。
（円順列の数おわり）
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を半分に分ける線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。
この問題の場合は、どの円順列の配置の円を裏返しても、新しくできる配置も、
裏返す元の配置を回転したのと同じ配置ができます。
ここで円の中心を通る裏返し線を円の中心のまわりに回転させると、
おりかえしてできる配置が円の中心のまわりに回転します。
裏返し線を、２つの●の間を通る位置に設定すれば、
その裏返し線で裏返した配置が、もとの配置と同じ配置になります。すなわち、どの配置も線対称な配置です。
そのため、じゅず順列の数より円順列の数が多くなるということはありません。
ゆえに、じゅず順列の数は、円順列の数と同じ、２組です。
場合の数と確率
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