因数分解のたすき掛けの解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問３Ｂ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
（解答の方針）
　最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の５にするのが目標。
　すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項２との積(３×２＝６)を計算する。

（第１の処理）
　その積(６)を、＝(３)×(２)という２つの項の積に分割して、その２つの項を足して、ｘの１乗の係数（５）になる、２つの項への分割を求める。
３＋２＝５
　この２つの項が求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。


【問３Ｃ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】同様にして、以下のように計算する。
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項（－２）との積(３×（－２）＝－６)を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－５）にするのが目標。
　この２つの項が求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。


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円と放物線の接線（２）重解の判別式の意味

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

《「微分・積分」の勉強》
　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。


《以下で、この問題の３つの解答を示す》
【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）

（解答１の解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

【解答１】
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、 
式１から、
放物線　ｙ＝ｘ^２＋ｈ　　（式１’）
式２から、
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２’） 

（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ　（式３）
である。
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４）
である。

（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
式３＝式４：

この式５を解くと、
ｘ＝０　（式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－１／２
ｙ＝１／２　（式７）
 
（５）
（式６の場合の接点を求める）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）^２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
 
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）
 
（５－１）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
（５－２）
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
（５－３）
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（以上が、第１の種類の接点）

（６）
（式７の場合の接点を求める）
式７（ｙ＝１／２）を式４に代入する。

式１より

接点は、

このとき、

（以上が第２の種類の接点）
（解答１おわり）

【解答２】
　この問題を微分を使わないで、図形の交点が接点となる場合に重解になる事を利用して解く場合は、以下のように面倒くさい解き方になります。

 この方程式で、以下の式３の置き換えをして解く。

この式４から、以下の式５と式６を得て、式６からｘの式を得る。

この解を、以下の様にグラフで表す。

ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。

この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて考察すると、２つのグラフが接することになる条件は、以下の３つである。 

これら、各場合を、以下の様にして解く。

 

 この式は、重解となる条件をあらわすので、重解の判別式であると解釈できる。
この判別式は、等価な以下の連立方程式８－１と８－１ｂに変形できる。

 式８－１ｂを以下の式に変形する。

これが、場合１の解である。

これが、場合２の解である。

これが、場合３の解である。
（解答２おわり）

【解答３】
　以下のように、図で考えて図から答えを得て計算すると簡単に解ける。 


式(1)と式(2)は、この式(4)と式(2)の連立方程式に変換された。（（注意）ｙだけで表される式(4)だけでは、どのようにしても、ｘ軸に平行な傾きで曲線が接する接点を求めることはできない。元の式(1)と式(2)のグラフを、ｙ軸を基準にして見ると、ｙ軸を基準にして傾きが無限大になる接線（ｘ軸に平行な直線）は、ｙの関数として表すことができない。それが、ｙだけの式(4)からｘ軸に平行な傾きの曲線の接点が求められない原因である）。

　式(4)と式(2)の関係を、以下の図であらわす。 

ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。

この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
　この事をふまえて、式４と式２の関係を考察する。
式１と式２の２つのグラフが接することになる条件は、式４と式２の２つのグラフの４つの交点のうちの２つが重なって重解になる条件と同じである。
各場合の、重解になる条件をあらわす式が、その各場合の重解の判別式である。
重解になる条件は、以下の３つの場合がある。 

これら、各場合を、以下の様にして解く。

これが、場合１の解である。

これが、場合２の解である。

これが、場合３の解である。
（解答３おわり）

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円と放物線の交点の問題

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが異なる４個の交点で交差するような定数ｈの範囲を求めよ。


【解答】
　以下の様に、方程式群を等価な方程式群に変換した上で、その方程式群で、図形の交点を求める。

式１を以下の式３に変形した上で式２に代入して式４を求める。

この方程式４と方程式１を連立した方程式の群は、元の方程式１と式２とから成る方程式の群に等価である。（同値変形である）。

この式１と式４の１組の式を連立して得た共有点(x,y)の解が、式１と式２のグラフの共有点(x,y) の解になる。

　式４のｙの式が、ｙの値の解を持たない場合は、式１と式４の連立方程式には解が無い。
　式４のｙの式が、ｙの値の解を持つ場合は、式４は上図の、Ｘ軸に平行な２本の直線のグラフをあらわす。式２のグラフは上図の、赤線で表した円のグラフである。上図の青線で表したグラフは、式１の表すグラフである。

　式(4)がｙの解を持ち、式(4)と式(1) の共有点が４つになる場合は、以下の計算でｙの解を求める。共有点が４つになるためのｙの値の存在条件として式(6) を求める。

すなわち、この式(6) を加えて、以下のように、連立方程式の同値変形ができる。

この連立方程式の解に共有点(x,y) が存在するために、ｘの解も存在しなければならない。さらに、その共有点(x,y) は４個なければならない。そのｘの解の存在条件を以下の計算によって求める。

式１０を更に変形する。

ｘの解が４点存在する条件が式(12) である。この式を、ｙの解の存在条件の式(6) に加える。そして、先の連立方程式を以下の連立方程式に同値変形する。

この連立方程式は、式(6)(12) から成るｘとｙの存在条件を満足することによって、式(5) が与えるｙの解が２つあり、式(7) が与えるｘの二乗の解も（ｘが０で無い解が）２つある。結局、存在条件の式(6)(12) を満足させることで、異なる４つの点(x,y) の解が存在する。
よって、式(6)(12) が求める定数ｈの範囲である。
（解答おわり）

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座標値が整数の点の集合を求める問題

このページは、ここをクリックした先の問題の回答です。

【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
２ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。

【問２】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。

【問題の解説】
　数ＸとＹとが整数であると定義されている問題では、当初の命題が、更に、有限個の点(X,Y) の集合を列記した命題に同値変形される。

　特に、上記の問１と問２の解答は、同じ有限個の点(X,Y) の集合になる特徴がある。

【問１の解答】



以下で、方程式(6) を方程式(7) に変形する。

変形した方程式(7) を使って命題Ｅをあらわす。

この命題Ｅに係わる方程式(7) は以下のグラフをあらわす。

このグラフから求めた解は、以下の命題Ｆになる。

結局、命題Ａは命題Ｆに同値変形された。

（問１の解答おわり）

【問２】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。
（問題おわり）
　先に導出した命題Ｆがあらわす有限個の点(X,Y) の集合にあてはまる方程式は、方程式(7) 以外にも存在し得る。
問２の以下の命題Ｇに係わる方程式がそうである。

なぜなら、問２の命題Ｇを同値変形すると、以下の命題Ｈが得られるからである。
【問２の解答】

この命題Ｈに係わる方程式(8) は以下のグラフをあらわす。

そして、このグラフから求めた解は命題Ｆになる。

（問２の解答おわり）

　命題Ｇは命題Ｆに同値変形される。
命題Ｇ（命題Ｈ）に係わる方程式(8) は、命題Ｆがあらわす点(X,Y) の集合に同値変形されるが、方程式(8) は、命題Ａに係わる方程式(7) とは、同じ有限個の点(X,Y) の集合をあらわす、という共通点しかない。
命題Ａと命題Ｇが等価（同値）であっても、その有限個の点(X,Y) の集合をあらわす方程式(7) も方程式(8) も、座標の値が整数の点(X,Y) 以外の余分な情報を含んでいる。その余分な情報があるので、方程式(7) と方程式(8) は互いに変換されない。その状況では、方程式(7) も方程式(8) も、いずれの方程式も、命題Ａの本質を表現する基本的な式ではない。方程式(7) も方程式(8) も、いずれの方程式も、「座標の値が整数の点(X,Y) 」という前提条件と結び付けられることで、余分な情報が消え、点の集合をあらわす命題Ｆという必要十分な情報になる。
　そのように、「以下の式を満足する（整数の）点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。

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無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
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