三角関数の逆関数の不定積分

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】以下の不定積分を求めよ。

（注意）tan^-1という記号は逆関数を表し、−１乗という意味の記号では無いことに注意すること。

【解答】

（解答おわり）
この解答のθは、以下の様に表せる自由がある。

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かろうじて初等関数で表される積分（その２）

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の問題の問３の方が問２より易しい（問１よりも易しいと言えるかもしれない）ので、それを先に解いてください。

【問１】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【解答】
（注意）この被積分関数は、ｘ＝０，－１で関数値がプラスマイナス無限大に発散して、その点で断絶しています。
この被積分関数は、その点を含まない区間でのみ積分できます。ｘ＞０の範囲内の区間では積分できます。
 （解答開始）
先ず、変数ｘの関数を以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。
ここで、
ｔ＞０
を満足する以下の変数ｔを定義します。

 （解答おわり）
　この問題は何とか解けましたが、この被積分関数が少しでも形を変えると、初等関数の解が無くなります。なお、この解き方は、以下の問２の解２の式４以降の解き方のように、変数変換の手順を分かり易く分けて解くこともできます。

（補足１）
以上の問１の問題は、以下の条件を満足したので、不定積分がかろうじて初等関数で表せました。
しかし、以下の条件を満足しなければ、このような初等関数の解を得る事ができません。

上の条件の２つ目の条件が満たされると、以下の計算のように、変数ｘをｔの逆数に変換するとｔの整数乗が出て来る。

そのため、変数ｘの整数乗があるか、ｘをｔの逆数に変換すれば変数ｔの整数乗が出て来ることが、初等関数の解を得る事ができる条件です。

【問２】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【解１】
　この不定積分は、補足１の条件を満足するので、初等関数で表せます。

　先ず、変数ｘの関数を以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

この式３の被積分関数は、問１の被積分関数と同じ形をしています。
そのため、これ以降の計算は、問１と同様に変数を変換して解く事ができます。
（以下の解答は省略）

【解２】
先ず、以下の式に変形します。

この変形で、このようにｘの整数乗が出てくれば、この積分は初等関数で表せることが分かります。次に、変数ｘを以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

次に、変数ｔを以下の変数ｕに置き換えて、置換積分します。

ここで、
Ｗ＞０
を満足する以下の変数Ｗを定義します。

 （解２おわり）

【問３】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。


【解答】
先ず、以下の式に変形します。

この変形で、このようにｘの整数乗が出てくれば、この積分は初等関数で表せることが分かります。次に、変数ｘを以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

次に、変数ｔを以下の変数ｕに置き換えて、置換積分します。

（解答おわり）

　以上の問１の形や問２や問３の形の被積分関数は、補足１の条件を満足しない場合には、その不定積分は初等関数では表せません。

　また、問２や問３の解き方のように、ｘの複雑な関数を積分しようとする場合には、ｘの逆数＝ｔで置換積分する。そうしたら、ｔで表された被積分関数が、問１の被積分関数ではｘの整数乗があるのと同様に、ｔの整数乗がある関数に変われば、不定積分が初等関数で表わせます。そうならなければ、その不定積分は初等関数で表せないという見通しを立てる事ができます。

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かろうじて初等関数で表される積分

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問０】
ｘ＞2のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
以下の解答は、あまりに単純なので覚えておいて使った方が良いと思う。 

（解答おわり）
　この問題の場合は、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が正であるので、積分結果が対数関数になった。
根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が負の場合は、積分結果は対数関数にはならない。
また、
１＜ｘ＜２
の範囲では、被積分関数の根号の中が負になってしまうので、この形の式の積分の解は無い。
また、
ｘ＜１
の範囲での積分の解は、
この式の右辺に（－１）が掛け算され、
根号の中には（－１）が掛け算された式になる。

【問１】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
（注意）この被積分関数は、ｘ＝０で関数値がプラスマイナス無限大に発散して、その点で断絶しています。
そのため、この被積分関数を積分できるのは、ｘ＜０の範囲内か、ｘ＞０の範囲内に限られています。
この問題の場合は、ｘ＞０の範囲内で不定積分をします。
 （解答開始）
先ず、変数ｘを置き換えるべき変数ｔを調べて、置換積分の準備をします。
ここで、
ｔ＞０
を満足する以下の変数ｔを定義します。

以上で準備したので、以下のように置換積分する。
計算の記述の簡易化のため積分定数Ｃの記載は省略する。

これでも、不定積分の解ですが（積分定数Ｃもつける）、
この解は、以下のように変形する事ができます。

これも不定積分の解ですが（積分定数Ｃもつける）、
この解は、更に以下のように変形する事ができます。

（解答おわり）
　この問題は何とか解けましたが、この被積分関数が少しでも形を変えると楕円積分になり、初等関数の解が無くなります。

（補足１）
以上の解答で同じ解を３つの形であらわしたが、どの形で解をあらわしても良いと考えます。
以下の様に同じ式の形が変化しています。

（補足２）
また、
ｘ＞０
の区間での積分については、
覚えやすい形に変形した以下の解を公式として覚えて使うと良いと考えます。

（補足３）
以下の公式も覚えておくと便利かもしれない。
実数ａと実数ｂで表される以下の不定積分：

 を解く場合に：

ゆえに：

（積分の公式）

（補足４）
以上の問１の問題は、以下の条件を満足したので、不定積分がかろうじて初等関数で表せました。
しかし、以下の条件を満足しなければ、このような初等関数の解を得る事ができません。

【問２】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答１】

ここで、補足２の公式を使って、以下の原始関数Hを考えます。

（解答１おわり）

【解答２】

（解答２おわり）
　この解答２の式は、解答１の式と同じ式です。

（補足４’）
問２は、補足４の条件を満足しているので、不定積分が初等関数で表せました。

次に、以上のパターンには当てはまらない以下の問３の不定積分も解く事ができます。

【問３】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答１】

次に、積分変数の変換の式を求める。

以上で準備した式を使って置換積分する。

（解答１おわり）
この解答の式は更に変形できるが、この形でも解である。
（この解は、準備していた式５は使わずに解けたが、式５は問題の構造を解析する準備に必要な式である。）

（補足５） 
　この問３の形の被積分関数が初等関数で解けたのは、被積分関数の√の中が、２次関数の式だったからです。√の中が、問１の場合以外の３次関数の場合には、楕円積分になって、初等関数の解では表わせなくなります。

【問３の解答２】
　この問題は、補足３の公式を使って以下の様に場合分けして解く事もできます。
（解答はじめ） 
（場合１）ｘ＞０　の区間での積分：

 ここで、変数ｘを変数ｔに変換する。

これに対して補足３の公式を使う。

（場合２）ｘ＜０　の区間での積分：

ｘ＞０の場合の不定積分もｘ＜０の場合の不定積分も、対数関数の中を絶対値で表せば（積分定数の違いはあるが）同じ式で表せる。
（解答２おわり）
　この解答２の式は、解答１の式と同じ式です。

（補足６）
この解答２の解き方から、補足３の公式に似た以下の公式がある。
実数ａと実数ｂで表される以下の不定積分： 

を解く場合に：
ｘ＞０　の積分区間では：

（以上が、ｘ＞０の区間の積分公式）
次に、
ｘ＜０　の積分区間では：

（以上が、ｘ＜０の区間の積分公式）
このような、ｂが正にも負にもなる様な問題を解く場合は、以上の、ｘ＞０の区間とｘ＜０の区間での積分公式を覚えて使うと便利だと思う。
（ｘ＞０の区間とｘ＜０の区間とで共通に使える積分公式の形は覚えにくい。） 

以下の理由によって、解答１の解き方よりも解答２の解き方の方が優れていると考える。

の不定積分を計算しようとした場合、解答２の方法ならば自然に解けるが、解答１のようにして解こうとすると、

という式１で定義した変数ｔを使う事で、解答１のようにして解ける。
しかし、変数ｔをこの式１て定義すれば問題が解けるという事は容易には思いつかない。（そもそも、そのような変数ｔは使わず、(x-1/2)=k(sinθ)というような変数θの三角関数を使って計算する。）
その様に、解答１の解き方は、汎用的な解き方では無いので、解答２の解き方の方が汎用性が有り優れていると考える。
（解答１の解き方は、補足３の公式を導き出す際に役立つ）

（補足７）
補足７の積分は、根号の中の２次式は、値が０になる実数解を持つ場合は、以下の公式であらわすこともできる。

（考察）
以上の様に、積分区間毎に、不定積分の解の形が異なるのが煩わしいかもしれません。しかし、不定積分は、１つながりに連結した解が１つの不定積分です。被積分関数の分母をまたいでは積分ができません。被積分関数の分母が０になる点で区間を切り離して、それぞれの区間で積分した、１つながりに連続した不定積分同士は異なる不定積分であって、いっしょにする事ができません。
積分区間毎に不定積分の解の形が異なる方が自然であって普通の事だと思います。
そのため、この補足７の解の方が、式の形も単純であって、優れた解であると考えます。 
（大学数学について）
　高校数学を十分に学んで高校数学を早く卒業して、大学数学を、基礎（これが大事）からしっかり学んで欲しいと思います。
　大学数学の概念を正しく使って、問題を誤りなく融通を利かせて解けるようになって欲しいと思います。
複素数の関数の概念を（しっかり理解して誤りなく）融通性を持たせて扱えるようになれば、解を場合分けしないで１つの式だけで表せるようになります。
また、根号の中の２次式は、値が０になる複素数の解を持ちます。その２次式を持つ関数の積分結果も、その複素数の解を使って以上の形で表せるようになります。
更に、根号の中の２次式にマイナス１を掛け算した式の積分の解は高校数学では三角関数の逆関数を使って表しますが、大学数学では三角関数の逆関数も、複素数を扱った対数関数で表す事ができます。
問０の問題の根号の中の式のｘの２次式のｘの２乗の項の係数が負になる場合の積分結果は三角関数の逆関数で表されます。その積分結果も、複素数を使った対数関数で表す事もできます。複素数を使って表現した方が簡単な解答になります。しかし、その様な手法は、大学数学で、複素数を扱う関数の基礎をしっかり學んだ上で使うべきであって、基礎をおろそかにして使って良い手法では無いと考えます。早く、正規な大学数学を学べるレベルに到達するように、しっかり学んで行って欲しいと思います。

（補足８）
　以上の形の被積分関数が補足４の条件を満足しない場合には不定積分の解が初等関数で表せない。

　この形以外の形の被積分関数が初等関数で表せるか否かについては、
「初等関数で表せない不定積分のいろいろ」
のページに記載した判定方法で判定しています。

　しかし、
「初等関数で表せない不定積分のいろいろ」
のページに記載した判定方法は、以上の形の被積分関数を判定するのにはむいていないので、注意が必要です。

その理由は、以上の形の被積分関数の項を含む原始関数は沢山のバラエティがあって、それらのバラエティを全て考慮して被積分関数を判定する作業は膨大な作業になるからです。

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