2018年2月4日日曜日

三角形の外角の二等分線と外接円の交点

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】
三角形ABCの外接円Oを考える。∠Aの外角の二等分線が外接円Oと交わる点をPとする。
三角形PBCがPを頂点とする二等辺三角形になることを証明しなさい。


【証明開始】
上図の様に、円周角の定理により
∠PAB=∠PCB
また、拡張円周角の定理により、
第1の円周角の弦の反対側の弧上の第2の円周角の外角が第1の円周角に等しいので、
∠PAD=∠PBC
である。
また、APは∠Aの外角の二等分線なので、
∠PAD=∠PAB
である。
そのため、
∠PBC=∠PAD=∠PAB=∠PCB
∴ ∠PBC=∠PCB
底辺側の2角が等しいので、三角形PBCはPを頂点とする二等辺三角形である。
(証明おわり) 

【別の証明】
直線APが∠BACの外角の∠BADの二等分線である。
更に∠BACの二等分線が円Oと交わる点をQとする。

∠BACの二等分線APと、その外角の二等分線AQの成す角は、
内角と外角の和の180度の半分の90度になるので、
APとAQの成す角は90度である。
そのため、三角形PAQは頂点Aが直角である直角三角形である。
円Oに内接する直角三角形PAQにおいて、
斜辺PQは円の中心Oを通る。

∠BACの二等分線AQにおいて、
∠BAQ=∠CAQ
であり、角度の等しい円周角である。
そのため、円Oの弧BQ=CQ
よって、OQは弦の直線BCの垂直二等分線である。
すなわち、PQは、直線BCの垂直二等分線である。
よって三角形PBCはPを頂点とする二等辺三角形である。
(証明おわり)

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