以下はここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
以下の図で、三角形の頂点A及びCから対辺に下した、垂心Ｐの足DとEを結ぶ線と、頂点Bと外心Oを結ぶ線が垂直であること、すなわち、
DE⊥OB
である事を証明せよ。
【解答１】
（証明）
（証明おわり）
【解答２】
（証明）
（証明おわり）
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
下図のように点Ａ（ａ１，ａ２）とＢ（ｂ１，ｂ２）と原点を中心とする半径ｒの円上を動く点Ｐ（ｐ１，ｐ２）とを頂点とする三角形の重心Ｇ（ｘ，ｙ）は、点Ｐがその円上を動くとき、どういう軌跡を動くか。その点Ｇ（ｘ，ｙ）の描く軌跡の方程式を導け。
【解答１】
先ず、動く点Ｐ（ｐ１，ｐ２）の円の方程式を書く
次に、重心の座標の公式を使って、重心Ｇ（ｘ，ｙ）の座標を書く。
式１に式２と式３を代入してｐ１とｐ２を消去したい。
そのために、式２を以下の式に変形する。
同様にして、式３を以下の式５に変形する。
この式４と式５を式１に代入してｐ１とｐ２を消去する。
両辺を３２で割り算する。
この点Ｇ（ｘ，ｙ）は、中心点
を中心とする、半径
の円周上にある。
（解答おわり）
【解答２】媒介変数θを使って軌跡を計算する。
以下の式でｐ１とｐ２をあらわす。
すると、以下の式でｘとｙがあらわされる。
この２つの式を変形する。
この２つの式のsinとcosをそれぞれ２乗して合計することで、媒介変数θを消去する。
（媒介変数θの消去方法は、この方法に限る。）
点Ｇ（ｘ，ｙ）は、中心点
を中心とする、半径
の円周上にある。
（解答おわり）
【問２】
次に、点Ｇがその円周上を完全に一周するかを調べよ。
【解答】
完全に一周するかどうかを調べるには、偏角をあらわすパラメータθで点Ｐの位置をあらわす。
式１を満足する点Ｐの座標Ｐ（ｐ１，ｐ２）は、以下の式であらわされる。
ｐ１＝ｒ・ｃｏｓθ （式８）
ｐ２＝ｒ・ｓｉｎθ （式９）
θが０から２πラジアンまで変わるとＰ点は円周を一周する。
式８と式９を式２と式３に代入する。
式１０と式１１を変形する。
式１２と式１３から、
点Ｇ（ｘ，ｙ）は、
中心点
を中心とする、半径
の円周上の偏角θの位置にあり、
θが０から２πまで変化すれば、半径（ｒ／３）の円周上を一回転する。
結局、点Ｇ（ｘ，ｙ）が円周上を一周するかどうかまで確かめなければならないので、問２を避けては通れない。
そのため、問１を解くのを省略して、問２を解いて、
点Ｇ（ｘ，ｙ）は、
中心点
を中心とする、半径
の円周上の偏角θの位置にある
という結論を得る方が効率的に全ての答えが得られる。
その円の方程式は、
とあらわせる。
（解答おわり）
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（証明おわり）
（証明おわり）
