この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
１個のさいころを３回なげる。そのさいころの目の数を順にａ，ｂ，ｃとする。
そのさいころの目の数を使って直線の方程式：
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，
を作る。
この直線の方程式は、係数をｋ倍した直線の方程式：
ａｋｘ＋ｂｋｙ＝ｃｋ，
と同じになります。
ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋがさいころの目には当てはまらない場合の確率を求めよ。
【解答（その１）】
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上の数であって、しかも、a,b,c が同じ整数で割り切れない場合に、ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋ，がさいころの他の目の数では表されない場合になる。
そういう場合の数を以下の様にして数え挙げる。
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが５である場合の数を数える。
５が３つの
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（５，５，５）は、
全係数が５で割り切れるのでダメ。
（１）５が２つのみある場合を以下で数える。
５以外の数ｎは、１，２，３，４，６の５個がある。
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（５，５，ｎ）が５組
（５，ｎ，５）が５組
（ｎ，５，５）が５組
合計３×５組ある。
（２）５が１つのみある場合を以下で数える。
５以外の数ｎとｍを考える。ｎとｍは同じ数であっても良い。
（５，ｎ，ｍ）が５×５＝２５組ある。
（ｎ，５，ｍ）が２５組ある。
（ｎ，ｍ，５）が２５組ある。
合計３×２５組ある。
（３）５が１つも無い場合を以下で数える。
（３ａ）３が２つのみある場合を考える。
残りの１つの数ｎが、例えば１だった場合、全係数をｋ＝２倍にしても６以下の数になるのでダメ。
残りの１つの数ｎは、４以上でなければならない。
残りの１つの数が６の場合は、３で割り切れるのでダメ。
残りの１つの数は４でなければならない。
（３，３，４）が１組
（３，４，３）が１組
（４，３，３）が１組
合計３組ある。
（３ｂ）３が１つのみある場合を考える。
残りの２つの数ｎとｍのどれかは必ず４以上の数で無ければならない。
しかし、ｎ＝ｍ＝６の場合は、全係数が３で割り切れるのでダメである。
それ以外なら良い。
（３ｂ１）ｎが４の場合を考える。
（３ｂ１１）ｎが４であり、ｍが４の場合を考える。
（３，４，４）が１組
（４，３，４）が１組
（４，４，３）が１組
合計３組ある。
（３ｂ１２）ｎが４であり、ｍが１か２か６の場合を考える。
（３，ｎ，ｍ）が３組
（３、ｍ、ｎが３組
（ｎ、３、ｍ）が３組
（ｍ，３，ｎ）が３組
（ｎ，ｍ，ｓ）が３組
（ｍ，ｎ，３）が３組
合計３×２×３組＝３×６組ある。
ここまでの樹形図を書くと以下の樹形図になる。
このように複雑な樹形図を考えているから、この計算は、とても間違えやすい。
（３ｂ２）ｎ及びｍが４では無い場合（３でも無い）を考える。
係数の１つのｎが６でなければならない。
残りの係数ｍが６の場合は、全係数が３で割り切れるのでダメ。
結局、ｍは１か２のみである。
（３，６、ｍ）が２組
（６，３，ｍ）が２組
（３，ｍ，６）が２組
（６，ｍ，３）が２組
（ｍ、３，６）が２組
（ｍ，６，３）が２組
合計３×２×２組＝３×４組ある。
（３ｃ）３が１つも無い場合を考える。
（ａ，ｂ，ｃ）の全部が偶数の場合は２で割り切れるのでダメ。
５でも３でも無い奇数１が１つは必要。
また、４か６かが１つは必要。
（３ｃ１）奇数１が２つある場合
残りの係数ｎが４か６である。
（１，１，ｎ）が２組
（１，ｎ，１）が２組
（ｎ，１，１）が２組
合計３×２組ある。
（３ｃ２）奇数１が１つのみある場合
（３ｃ２１）残りの係数に２がある場合
最後の係数ｎは４か６でなければならない。
（１，２，ｎ）が２組
（２，１，ｎ）が２組
（１，ｎ，２）が２組
（２，ｎ，１）が２組
（ｎ，１，２）が２組
（ｎ，２，１）が２組
合計３×２×２＝３×４組ある。
（３ｃ２２）残りの係数に２が無い場合
ｎは４か６、ｍも４か６
（１，ｎ，ｍ）が２×２＝４組
（ｎ，１，ｍ）が４組
（ｎ，ｍ，１）が４組
合計３×４組ある。
《総合計》
３×（５＋２５＋１＋６＋１＋４＋２＋４＋４）
＝３×５２＝６×２６
確率＝６×２６/6^3
＝２６/6^2
＝１３／（６×３）
＝１３／１８
（答え）
【解答（その２）】
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上の数であって、しかも、a,b,c が同じ整数で割り切れない場合に、ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋ，がさいころの他の目の数では表されない場合になる。
そういう場合の数を、 そうならない場合の数を数え挙げることで求める。
そうならない場合を数え上げる樹形図は以下の形に単純化されているので、数え間違いのリスクが減っている。
（１）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の１か２か３である場合
３×３×３＝３×９通りある。
（２）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上であって、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合の数を以下で数える。
（２ａ）全ての係数が同じ値であって、その値で割り切れる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，６，６）
（５，５，５）
（４．４．４）
合計３組ある。
（２ｂ）全ての係数が同じでは無い場合
（２ｂ１）３で割り切れる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，６，３）
（６，３，６）
（３，６，６）
（６，３，３）
（３，６，３）
（３，３，６）
合計３×２組ある。
（２ｂ２）３で割り切れないが２で割り切れる場合
（２ｂ２１）６がある場合
（２ｂ２１１）６が２つある場合
（６，６，２）
（６，２，６）
（２，６，６）
（６，６，４）
（６，４，６）
（４，６，６）
合計３×２組ある。
（２ｂ２１２）６が１つのみある場合
（２ｂ２１２１）６以外の係数ｎが等しい場合
ｎが２か４である
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，ｎ，ｎ）２組
（ｎ，６，ｎ）２組
（ｎ，ｎ，６）２組
合計３×２組ある。
（２ｂ２１２２）６以外の係数ｎとｍが異なる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，４，２）
（２，６，４）
（４，２，６）
（６，２，４）
（４，６，２）
（２，４，６）
合計３×２組ある。
（２ｂ２２）６が無い場合、
（４，４，２）
（４，２，４）
（２，４，４）
（４，２，２）
（２，４，２）
（２，２，４）
合計３×２組ある。
《総合計》
３×（９＋１＋２×５）
＝６０
確率＝１－６０/6^3
＝１－５/１８
＝１３/１８
（答え）
【解答（その３）】
以下の重複事象統合樹形図を利用して、問題の場合の条件が成り立たない場合の数を、重複部を差し引いて数え上げる事で問題を解く。
すなわち、『（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の数であるか（その場合は、全係数を２倍以上にできる）、
又は、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合』
の数を重複部を差し引いて数え挙げることで問題を解く。
（１）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の１か２か３である場合
３×３×３＝２７通りある。
（２）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上であって、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合の数を以下で数える。
（２ａ）全てが５で割り切れる場合
（５，５，５）の１組がある。
（２ｂ）全てが３で割り切れる場合から、（３，３，３）を除外した数：
２×２×２－１＝７通りある。
（２ｃ）全てが２で割り切れる場合から、（２，２，２）と、全てが３でも割り切れる場合の（６，６，６）を除外した数：
３×３×３－２＝２５通りある。
《総合計》
２７＋１＋７＋２５＝６０
確率＝１－６０/6^3
＝１－５/１８
＝１３/１８
（答え）
（補足）
この問題のように、解答（その３）の解き方の様に重複部を差し引く計算をすると簡単に解けるが、それ以外の解き方をすると計算が複雑になって間違え易いという設問、を多く見かけます。
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高校数学の目次
【問１】
１個のさいころを３回なげる。そのさいころの目の数を順にａ，ｂ，ｃとする。
そのさいころの目の数を使って直線の方程式：
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，
を作る。
この直線の方程式は、係数をｋ倍した直線の方程式：
ａｋｘ＋ｂｋｙ＝ｃｋ，
と同じになります。
ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋがさいころの目には当てはまらない場合の確率を求めよ。
【解答（その１）】
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上の数であって、しかも、a,b,c が同じ整数で割り切れない場合に、ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋ，がさいころの他の目の数では表されない場合になる。
そういう場合の数を以下の様にして数え挙げる。
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが５である場合の数を数える。
５が３つの
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（５，５，５）は、
全係数が５で割り切れるのでダメ。
（１）５が２つのみある場合を以下で数える。
５以外の数ｎは、１，２，３，４，６の５個がある。
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（５，５，ｎ）が５組
（５，ｎ，５）が５組
（ｎ，５，５）が５組
合計３×５組ある。
（２）５が１つのみある場合を以下で数える。
５以外の数ｎとｍを考える。ｎとｍは同じ数であっても良い。
（５，ｎ，ｍ）が５×５＝２５組ある。
（ｎ，５，ｍ）が２５組ある。
（ｎ，ｍ，５）が２５組ある。
合計３×２５組ある。
（３）５が１つも無い場合を以下で数える。
（３ａ）３が２つのみある場合を考える。
残りの１つの数ｎが、例えば１だった場合、全係数をｋ＝２倍にしても６以下の数になるのでダメ。
残りの１つの数ｎは、４以上でなければならない。
残りの１つの数が６の場合は、３で割り切れるのでダメ。
残りの１つの数は４でなければならない。
（３，３，４）が１組
（３，４，３）が１組
（４，３，３）が１組
合計３組ある。
（３ｂ）３が１つのみある場合を考える。
残りの２つの数ｎとｍのどれかは必ず４以上の数で無ければならない。
しかし、ｎ＝ｍ＝６の場合は、全係数が３で割り切れるのでダメである。
それ以外なら良い。
（３ｂ１）ｎが４の場合を考える。
（３ｂ１１）ｎが４であり、ｍが４の場合を考える。
（３，４，４）が１組
（４，３，４）が１組
（４，４，３）が１組
合計３組ある。
（３ｂ１２）ｎが４であり、ｍが１か２か６の場合を考える。
（３，ｎ，ｍ）が３組
（３、ｍ、ｎが３組
（ｎ、３、ｍ）が３組
（ｍ，３，ｎ）が３組
（ｎ，ｍ，ｓ）が３組
（ｍ，ｎ，３）が３組
合計３×２×３組＝３×６組ある。
ここまでの樹形図を書くと以下の樹形図になる。
このように複雑な樹形図を考えているから、この計算は、とても間違えやすい。
（３ｂ２）ｎ及びｍが４では無い場合（３でも無い）を考える。
係数の１つのｎが６でなければならない。
残りの係数ｍが６の場合は、全係数が３で割り切れるのでダメ。
結局、ｍは１か２のみである。
（３，６、ｍ）が２組
（６，３，ｍ）が２組
（３，ｍ，６）が２組
（６，ｍ，３）が２組
（ｍ、３，６）が２組
（ｍ，６，３）が２組
合計３×２×２組＝３×４組ある。
（３ｃ）３が１つも無い場合を考える。
（ａ，ｂ，ｃ）の全部が偶数の場合は２で割り切れるのでダメ。
５でも３でも無い奇数１が１つは必要。
また、４か６かが１つは必要。
（３ｃ１）奇数１が２つある場合
残りの係数ｎが４か６である。
（１，１，ｎ）が２組
（１，ｎ，１）が２組
（ｎ，１，１）が２組
合計３×２組ある。
（３ｃ２）奇数１が１つのみある場合
（３ｃ２１）残りの係数に２がある場合
最後の係数ｎは４か６でなければならない。
（１，２，ｎ）が２組
（２，１，ｎ）が２組
（１，ｎ，２）が２組
（２，ｎ，１）が２組
（ｎ，１，２）が２組
（ｎ，２，１）が２組
合計３×２×２＝３×４組ある。
（３ｃ２２）残りの係数に２が無い場合
ｎは４か６、ｍも４か６
（１，ｎ，ｍ）が２×２＝４組
（ｎ，１，ｍ）が４組
（ｎ，ｍ，１）が４組
合計３×４組ある。
《総合計》
３×（５＋２５＋１＋６＋１＋４＋２＋４＋４）
＝３×５２＝６×２６
確率＝６×２６/6^3
＝２６/6^2
＝１３／（６×３）
＝１３／１８
（答え）
【解答（その２）】
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上の数であって、しかも、a,b,c が同じ整数で割り切れない場合に、ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋ，がさいころの他の目の数では表されない場合になる。
そういう場合の数を、 そうならない場合の数を数え挙げることで求める。
そうならない場合を数え上げる樹形図は以下の形に単純化されているので、数え間違いのリスクが減っている。
（１）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の１か２か３である場合
３×３×３＝３×９通りある。
（２）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上であって、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合の数を以下で数える。
（２ａ）全ての係数が同じ値であって、その値で割り切れる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，６，６）
（５，５，５）
（４．４．４）
合計３組ある。
（２ｂ）全ての係数が同じでは無い場合
（２ｂ１）３で割り切れる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，６，３）
（６，３，６）
（３，６，６）
（６，３，３）
（３，６，３）
（３，３，６）
合計３×２組ある。
（２ｂ２）３で割り切れないが２で割り切れる場合
（２ｂ２１）６がある場合
（２ｂ２１１）６が２つある場合
（６，６，２）
（６，２，６）
（２，６，６）
（６，６，４）
（６，４，６）
（４，６，６）
合計３×２組ある。
（２ｂ２１２）６が１つのみある場合
（２ｂ２１２１）６以外の係数ｎが等しい場合
ｎが２か４である
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，ｎ，ｎ）２組
（ｎ，６，ｎ）２組
（ｎ，ｎ，６）２組
合計３×２組ある。
（２ｂ２１２２）６以外の係数ｎとｍが異なる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，４，２）
（２，６，４）
（４，２，６）
（６，２，４）
（４，６，２）
（２，４，６）
合計３×２組ある。
（２ｂ２２）６が無い場合、
（４，４，２）
（４，２，４）
（２，４，４）
（４，２，２）
（２，４，２）
（２，２，４）
合計３×２組ある。
《総合計》
３×（９＋１＋２×５）
＝６０
確率＝１－６０/6^3
＝１－５/１８
＝１３/１８
（答え）
【解答（その３）】
以下の重複事象統合樹形図を利用して、問題の場合の条件が成り立たない場合の数を、重複部を差し引いて数え上げる事で問題を解く。
すなわち、『（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の数であるか（その場合は、全係数を２倍以上にできる）、
又は、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合』
の数を重複部を差し引いて数え挙げることで問題を解く。
（１）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の１か２か３である場合
３×３×３＝２７通りある。
（２）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上であって、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合の数を以下で数える。
（２ａ）全てが５で割り切れる場合
（５，５，５）の１組がある。
（２ｂ）全てが３で割り切れる場合から、（３，３，３）を除外した数：
２×２×２－１＝７通りある。
（２ｃ）全てが２で割り切れる場合から、（２，２，２）と、全てが３でも割り切れる場合の（６，６，６）を除外した数：
３×３×３－２＝２５通りある。
《総合計》
２７＋１＋７＋２５＝６０
確率＝１－６０/6^3
＝１－５/１８
＝１３/１８
（答え）
（補足）
この問題のように、解答（その３）の解き方の様に重複部を差し引く計算をすると簡単に解けるが、それ以外の解き方をすると計算が複雑になって間違え易いという設問、を多く見かけます。
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