2019年9月6日金曜日

三角形の三角関数の3重積と3項和の公式

以下は、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問題】
上図の、点Dを外心に持つ三角形ABCの頂点の角に関して以下の式が成り立つ事を証明せよ。

(解答の方針)
上図の三角形ABCの面積Sは、以下の三角関数の式であらわせます。

【解答】
先ず、正弦定理を使って、2つのsinを三角形の辺と外接円の半径Rであらわす。
次に、三角形の面積Sの公式を使う。
(解答おわり)

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三角形の三角関数の3重積と3項和の公式(2)

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】
△ABCにおいて、次の等式がなりたつことを証明せよ。
【解答の心構え】
 先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
(今回は図を省略するので、図は想像して描いてください)

(解答の方針)
この問題は、式1の右辺が3つの項の掛け算だから難しい。掛け算を解消するように問題を変換する。

【解答1】
式1の右辺をSとして、以下の式に変形する。
三角形の公式により式を変形する
これは、式1の左辺である。 
(証明おわり)

【解答2】
以下の図で考える。
先ず、三角形ABCの内接円との接点が作る三角形DEFに関して三角形の三角関数の3重積と3項和の公式を使う。

(証明おわり)

【問2】
 △ABCにおいて、次の等式がなりたつことを証明せよ。

【解答】
(証明おわり)

【問3】
三角形の外接円の半径と内接円の半径の関係
三角形DEFの内接円の半径をRとする。
それは、三角形ABCの外接円の半径でもある。
(解答おわり)

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