技巧的な、無理関数の方程式の解き方（その２）

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【問題１】以下の方程式（式(1)）を簡単な方程式に変換せよ。


【解答】
《式(1)の形の無理関数の方程式は、この式を変形した式の両辺を２乗して計算すれば解けるが、そうするよりは、以下のように変数ｓを導入して解くと計算が楽になる》
　先ず、以下の式で表す変数ｓを導入して、以下のように計算を進める。


上式の様に方程式が簡単になった、
（解答おわり）

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技巧的な、無理関数の方程式の解き方

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【問題１】以下の方程式（式(1)）のｘの解を求めよ。

ただし、A>0, B>0, k>0, であるものとする。

【解答】
《式(1)の形の無理関数の方程式は、この式を変形した式の両辺を２乗して計算するのでは無く、以下のように変数ｓを導入すると解き易くなる》
　先ず、以下の式で表す変数ｓを導入して、以下のように計算を進める。


（解答おわり）

《補足》
　式(9)の形を見ると、
もし、 式(1)が、AとBが、互いに比例するｘの整式の場合でも解けることが分かる。すなわち、その様な形をした一見複雑に見える式(1)であっても、式(9)の解が得られるので、その式(9)を変形することでｘの解を求めることができることが分かる。

【問題２】以下の方程式（式(1)）のｘの解を求めよ。

ただし、A>0, B>0, p>0, であるものとする。

【解答】
　式(1)の形の無理関数の方程式は、以下の形に式を変形できる特徴がある。

この式(2)は、問題１の式(1)と同じ式である。こうして、この問題２は、問題１に帰着して解く事ができる。これ以降の計算は問題１の解答と同じなので、計算を省略する。

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3次方程式の3つの解が全て実数解である条件

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【課題】以下の３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件を導き出せ。

（課題おわり）

【解答１】
《式(1)の関数f(x)の３次方程式の解を求める問題は、変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解くのが定石である。》
　その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。

y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
　先ずは、以下の計算により、関数g(t)の係数を導き出す。

　これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。

方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。

この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。

先ず、g(t1)を計算する。

g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。

この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。

この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。式(7)を見ると、最初に得られた式(4)で表された前提条件は、式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。

　式(7)の判別式は、元の式(1)の係数で表すと（係数を変えた）式(8)の形の判別式になる。この式(8)の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解答１おわり）

【解答２】
　解答１の定石の解き方をしない場合には、以下のように計算が面倒になる。

　この３次方程式の関数f(x)の表すグラフY=f(x)の形を描くと以下の図が描ける。

y=f(x)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点のｘ座標を表す。
　そのため、先ず、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数f(x)を微分した関数f'(x)が０になる点が２つあることである。その２つの点のｘ座標は方程式(2)で求められる。方程式(2)の解は以下の式で計算できる。

この方程式(2)が２つの解を持つ条件は以下の式(3)である。

この式(3)の条件が成り立つ場合の方程式(2)の解は、以下の計算で求められる。

この解のｘ座標をx1とx2として以下の式で表す。

この２つのｘ座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標の値である。その２つの点のｙ座標の値が負と正であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の値の積が負であるという条件だけでも、グラフはX軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。

先ず、f(x1)を計算する。



f(x2)も、同様にして、以下の式(5)で表せる。

この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。

この式が、3つの解が全て実数解である条件である（解その１）。
　次に、この式D1を展開した式を計算する。

この計算の結果、以下の式(7)の解（解その２）が得られた。


解その１と解その２が等価な解である。解その１の式(6)を見ると、最初に得られた式(3)で表された前提条件は、式(6)が満足されるならば、その式(3)も満足される事が示せた。

よって、式(6)又は式(7)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解答２おわり）

（補足）以上のようにして、高校数学の範囲で、かろうじて、３次方程式の解の判別式を導き出すことができた。しかし、この問題は、このようにして高校数学の視点に基づいて解を求めるよりは、大学数学の、新たな視点から見た判別式の概念を用いて解を得る方が良い。その方が数学の視野が広がるからです。
　ここをクリックした先の「三次方程式の判別式の意味と使い方」のサイトに、その新たな視点から見た判別式の概念が説明されている。

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