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【問１】
原点をＯとするｘｙ平面上に点Ａ（－２，０）と点Ｂ（１，０）がある。∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢを満たす点Ｐの軌跡を求めよ。（ただし、∠ＯＰＡ＝０の場合も含めること）
【解答その１】
∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢ＝θとする。そのとき、直線ＯＰ上の点Ａの高さと点Ｂの高さの比は、ａ：ｂで一定である（ａ＝２，ｂ＝１）。
すなわち、以下の式が成り立つ。
（注意）この式は、点Ｐが原点Ｏに重なってしまい辺ＯＰが１点になってしまう場合にも成り立つ。しかし、その場合は、その１点に替わってしまった「辺」の方向が考えられないので、問題の条件が成り立っていない。この式は、そのように、問題の条件が成り立たなくなっている点Ｐに対しても成り立つ式である。
この式は以下の様に解ける。
この式１と式２の解がある。
（第１の解）式１のθ＝０の解は、点Ｐが直線ＡＢ上の、辺ＡＢの外にある（点Ａと点Ｂは含まない）場合にθ＝０になる。これが、第１の解である。
点Ａの位置に点Ｐが来ると、辺ＡＰが１点になってしまう。その場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう場合は解にはしない。点Ｂに点Ｐが重なる場合も同様。
（第２の解の考察）点ＡとＢの間の（点Ａと点Ｂは含まない）辺ＡＢ内の点Ｐについては、下図の様に、∠ＡＰＢ＝１８０°であって、辺ＡＢに垂直な線がその角を二等分する。
この図の点Ｐ＝原点Ｏとして、∠ＡＰＯ＝∠ＢＰＯ＝９０°となると考えても良さそうに思う。しかし、点Ｐ＝原点Ｏというように辺ＰＯが１点に重なってしまう場合には、すなわち、辺ＯＰが１点になってしまう場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう場合は解にはしない。
（第３の解）
以下で式２による第３の解を計算する。
この式は（２，０）を中心にした半径２の円であり、原点Ｏを通る。
逆に、（２，０）を中心にした半径２の円上の点Ｐは全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが原点Ｏに重なってしまい辺ＯＰが１点になってしまう場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう、点Ｐが点Ｏに重なる場合は解にしない。
この第１の解と第３の解の軌跡を以下の図に赤線で示す。
（解答その１おわり）
【解答その２】
∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢ＝θとする。そのとき、余弦定理から、以下の２つの式が成り立つ。
この式(1)と(2)から角度θを消去する。
ここで、この式を整理するために、以下の２つの式を用いる。
この２つの式を先の式に代入する。
この２つの解のうち、問題の条件を満足する解を抽出する。
（第１の解） 直線ｙ＝０、すなわち、直線ＡＢの場合：
逆に、直線ｙ＝０上の点は全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが直線ＡＢ上の、辺ＡＢの外にある（点Ａと点Ｂは含まない）場合にθ＝０になり、問題の条件を満足する。しかし、辺ＡＢの中に点Ｐがある場合は、問題の条件が満足されない。
（第２の解）
この式は（２，０）を中心にした半径２の円であり、原点Ｏを通る。
逆に、（２，０）を中心にした半径２の円上の点Ｐは全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが原点Ｏに重なってしまい辺ＯＰが１点になってしまう場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう、点Ｐが点Ｏに重なる場合は解ではない。
以上の第１の解と第２の解の軌跡は解答１と同じであり解答１で示した図の軌跡を描く。
（解答その２おわり）
【補足】
解答その２の計算が大変であって、解答その１の計算が楽だった、という解答の難易度の差が出たのは、三角形の内角の二等分線にかかわる関係式が多く 存在しているため、解答その１のように、最終解答の式に近い式を使った方が計算が楽だったからだと考えます。
【解答その３】
以下の図のような複素数平面の図を利用して問題を解きます。
辺ＯＺが頂角Ａを二等分することを表す、複素数平面の方程式を書く。
この方程式で、
ｚ≠０， ｚ≠ａ， ｚ≠ｂ，
ｚ＝ｘ＋ｙｉ
である。
（注意）この方程式は、角度θを２倍して比較する式である。そのため、∠ＯＺＡが１８０°の場合、それを２倍して３６０°、すなわち、０°と同等の角度として角度を比較している。そのため、この方程式は角度１８０°と角度０°を区別しない。しかし、その場合には問題の条件が成り立っていない。この式は、そのように、問題の条件が成り立たなくなっている点ｚに対しても成り立つ式である。
この方程式を以下で変形する。
（第１の解） 直線ｙ＝０、すなわち、直線ＡＢの場合：
逆に、直線ｙ＝０上の点は全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが直線ＡＢ上の、辺ＡＢの外にある（点Ａと点Ｂは含まない）場合にθ＝０になり、問題の条件を満足する。しかし、辺ＡＢの中に点Ｐがある場合は、問題の条件が満足されない。
（第２の解） （２，０）を中心にした半径２の円であり、原点Ｏを通る。
ただし、
ｚ≠０， ｚ≠ａ， ｚ≠ｂ，
を満足するために、この円から原点Ｏを除く。
（解答その３おわり）
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【問１】
原点をＯとするｘｙ平面上に点Ａ（－２，０）と点Ｂ（１，０）がある。∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢを満たす点Ｐの軌跡を求めよ。（ただし、∠ＯＰＡ＝０の場合も含めること）
【解答その１】
∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢ＝θとする。そのとき、直線ＯＰ上の点Ａの高さと点Ｂの高さの比は、ａ：ｂで一定である（ａ＝２，ｂ＝１）。
すなわち、以下の式が成り立つ。
（注意）この式は、点Ｐが原点Ｏに重なってしまい辺ＯＰが１点になってしまう場合にも成り立つ。しかし、その場合は、その１点に替わってしまった「辺」の方向が考えられないので、問題の条件が成り立っていない。この式は、そのように、問題の条件が成り立たなくなっている点Ｐに対しても成り立つ式である。
この式は以下の様に解ける。
この式１と式２の解がある。
（第１の解）式１のθ＝０の解は、点Ｐが直線ＡＢ上の、辺ＡＢの外にある（点Ａと点Ｂは含まない）場合にθ＝０になる。これが、第１の解である。
点Ａの位置に点Ｐが来ると、辺ＡＰが１点になってしまう。その場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう場合は解にはしない。点Ｂに点Ｐが重なる場合も同様。
（第２の解の考察）点ＡとＢの間の（点Ａと点Ｂは含まない）辺ＡＢ内の点Ｐについては、下図の様に、∠ＡＰＢ＝１８０°であって、辺ＡＢに垂直な線がその角を二等分する。
この図の点Ｐ＝原点Ｏとして、∠ＡＰＯ＝∠ＢＰＯ＝９０°となると考えても良さそうに思う。しかし、点Ｐ＝原点Ｏというように辺ＰＯが１点に重なってしまう場合には、すなわち、辺ＯＰが１点になってしまう場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう場合は解にはしない。
（第３の解）
以下で式２による第３の解を計算する。
この式は（２，０）を中心にした半径２の円であり、原点Ｏを通る。
逆に、（２，０）を中心にした半径２の円上の点Ｐは全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが原点Ｏに重なってしまい辺ＯＰが１点になってしまう場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう、点Ｐが点Ｏに重なる場合は解にしない。
この第１の解と第３の解の軌跡を以下の図に赤線で示す。
（解答その１おわり）
【解答その２】
∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢ＝θとする。そのとき、余弦定理から、以下の２つの式が成り立つ。
この式(1)と(2)から角度θを消去する。
ここで、この式を整理するために、以下の２つの式を用いる。
この２つの式を先の式に代入する。
この２つの解のうち、問題の条件を満足する解を抽出する。
（第１の解） 直線ｙ＝０、すなわち、直線ＡＢの場合：
逆に、直線ｙ＝０上の点は全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが直線ＡＢ上の、辺ＡＢの外にある（点Ａと点Ｂは含まない）場合にθ＝０になり、問題の条件を満足する。しかし、辺ＡＢの中に点Ｐがある場合は、問題の条件が満足されない。
（第２の解）
この式は（２，０）を中心にした半径２の円であり、原点Ｏを通る。
逆に、（２，０）を中心にした半径２の円上の点Ｐは全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが原点Ｏに重なってしまい辺ＯＰが１点になってしまう場合には、その「辺」の方向が考えられない。そのため、「辺」が１点になってしまう、点Ｐが点Ｏに重なる場合は解ではない。
以上の第１の解と第２の解の軌跡は解答１と同じであり解答１で示した図の軌跡を描く。
（解答その２おわり）
【補足】
解答その２の計算が大変であって、解答その１の計算が楽だった、という解答の難易度の差が出たのは、三角形の内角の二等分線にかかわる関係式が多く 存在しているため、解答その１のように、最終解答の式に近い式を使った方が計算が楽だったからだと考えます。
【解答その３】
以下の図のような複素数平面の図を利用して問題を解きます。
辺ＯＺが頂角Ａを二等分することを表す、複素数平面の方程式を書く。
この方程式で、
ｚ≠０， ｚ≠ａ， ｚ≠ｂ，
ｚ＝ｘ＋ｙｉ
である。
（注意）この方程式は、角度θを２倍して比較する式である。そのため、∠ＯＺＡが１８０°の場合、それを２倍して３６０°、すなわち、０°と同等の角度として角度を比較している。そのため、この方程式は角度１８０°と角度０°を区別しない。しかし、その場合には問題の条件が成り立っていない。この式は、そのように、問題の条件が成り立たなくなっている点ｚに対しても成り立つ式である。
この方程式を以下で変形する。
（第１の解） 直線ｙ＝０、すなわち、直線ＡＢの場合：
逆に、直線ｙ＝０上の点は全て、問題の条件を満足するかを考える。
ここで、点Ｐが直線ＡＢ上の、辺ＡＢの外にある（点Ａと点Ｂは含まない）場合にθ＝０になり、問題の条件を満足する。しかし、辺ＡＢの中に点Ｐがある場合は、問題の条件が満足されない。
（第２の解） （２，０）を中心にした半径２の円であり、原点Ｏを通る。
ただし、
ｚ≠０， ｚ≠ａ， ｚ≠ｂ，
を満足するために、この円から原点Ｏを除く。
（解答その３おわり）
リンク：
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