正５角形の問題の解答

この解答は、ここをクリックした先の問題の解答です。

複素数平面において半径１の円に内接する正５角形を考える。


Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とする。


【問１】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）｜＝５
すなわち、
ａｂａｂ＝５
を証明する。

【問２】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
すなわち、
ａ^２＋ｂ^２＋ｂ^２＋ａ^２＝１０
を証明する。

【問３】図の長さｓを計算せよ


（解答）
【問１】
Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とすると、
０＝Ｘ^５－１
＝（Ｘ－Ｘ_０）（Ｘ－Ｘ_１）（Ｘ－Ｘ_２）（Ｘ－Ｘ_３）（Ｘ－Ｘ_４）　（式１）
の関係が成り立ち、
それらの解を複素数平面上であらわした点を結ぶと正５角形になる。
式１を用いると以下の式２が得られる。
問１の式の左辺の絶対値の中の式はその式２のＸを１に置き換えた式の左辺である。
（Ｘ－Ｘ_１）（Ｘ－Ｘ_２）（Ｘ－Ｘ_３）（Ｘ－Ｘ_４）＝（Ｘ^５－１）／（Ｘ－１）
＝Ｘ^４＋Ｘ^３＋Ｘ^２＋Ｘ＋１　（式２）
ここで、
Ｘ＝１
とすると、
（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）＝５
（証明おわり）

（解答）
【問２】

Ｘ^５－１＝０
のＸの４乗の項の係数が０であるので、
５次方程式の根と係数の関係から、

式４を式３に代入すると
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
（証明おわり）

（解答）
【問３】

ｓ^２＝ＢＣ^２＝ＡＣ^２－ＡＢ^２

ここで、ａは以下のようにして求めることができる。
問１の結果から、
ａ^２ｂ^２＝５　（６）
問２の結果から、
ａ^２＋ｂ^２＝５　（７）
ａ^２とｂ^２を求めるｔの式を根と係数の関係を利用して作る。
０＝（ｔ－ａ^２）（ｔ－ｂ^２）
＝ｔ^２－（ａ^２＋ｂ^２）ｔ＋ａ^２ｂ^２
ここで、式６と式７を代入する。
０＝ｔ^２－５ｔ＋５　（８）
この式８を解く。

ａ^２は式８の解のうち小さい方の値であるので、

式９を式５に代入する。

（解答おわり）

（話の追加）
ｓの長さがわかったので、例えば下図のようにこの長さｓを作図して、その長さを使って正５角形を作図できる。

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複素数平面のベクトル方程式の解

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、αおよびβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

【解答】
この問題は、複素数のベクトル方程式です。
なぜなら、以下の様に、２つのベクトルをあらわす複素数の実数係数の和の形のベクトル方程式の形をしているからです。

（１）先ず、複素数のあらわすベクトルが互いに平行では無い、独立したベクトルである場合について解きます。

このとき、このベクトル方程式の解は、互いに独立なベクトルの係数の総和Ａ、およびＢ、が０の解をもちます。

（１－１）このうち、αに関する式は、以下の様に計算できます。

 

この式は「複素数平面上のベクトルの内積の式」の形をしていて、ベクトルの内積が０になることを表しています。すなわち、αの描く図形は、原点と－２の点を結んだ線分を直径にする円になります。ただし、最初の方程式を成立させるため、原点の０は除きます。

（別解）この式の解釈は、以下の式の変形方法の方が読者になじみが深いのではないかと思う。

よって、ー１の点を中心にした半径１の円を描く（ただし、原点の０を除く）。

（１－２）次に、βの式を計算します。

 βは虚軸上の直線を描きます。ただし、原点の０は除きます。

（２）次に、複素数のあらわすベクトルが互いに平行な場合を考えます。

 この場合は、以下の様に計算できます。

 （解答おわり）

（補足）

　この問題の式が以下の式に変形されている場合も、最初の式の形に、すなわち、２つのベクトルの実数係数の和の形に変形して問題を解けるように練習しておきましょう。

 以下の式の場合も同様に、２つのベクトルの実数係数の和の形の最初の式の形に変形して問題を解けるようになりましょう。

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