さいころの目で作る直線の方程式

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
１個のさいころを３回なげる。そのさいころの目の数を順にａ，ｂ，ｃとする。
そのさいころの目の数を使って直線の方程式：
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，
を作る。
この直線の方程式は、係数をｋ倍した直線の方程式：
ａｋｘ＋ｂｋｙ＝ｃｋ，
と同じになります。
ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋがさいころの目には当てはまらない場合の確率を求めよ。

【解答（その１）】
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上の数であって、しかも、a,b,c が同じ整数で割り切れない場合に、ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋ，がさいころの他の目の数では表されない場合になる。
そういう場合の数を以下の様にして数え挙げる。

（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが５である場合の数を数える。
５が３つの
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（５，５，５）は、
全係数が５で割り切れるのでダメ。
（１）５が２つのみある場合を以下で数える。
５以外の数ｎは、１，２，３，４，６の５個がある。
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（５，５，ｎ）が５組
（５，ｎ，５）が５組
（ｎ，５，５）が５組
合計３×５組ある。

（２）５が１つのみある場合を以下で数える。
５以外の数ｎとｍを考える。ｎとｍは同じ数であっても良い。
（５，ｎ，ｍ）が５×５＝２５組ある。
（ｎ，５，ｍ）が２５組ある。
（ｎ，ｍ，５）が２５組ある。
合計３×２５組ある。

（３）５が１つも無い場合を以下で数える。

（３ａ）３が２つのみある場合を考える。
残りの１つの数ｎが、例えば１だった場合、全係数をｋ＝２倍にしても６以下の数になるのでダメ。
残りの１つの数ｎは、４以上でなければならない。
残りの１つの数が６の場合は、３で割り切れるのでダメ。
残りの１つの数は４でなければならない。
（３，３，４）が１組
（３，４，３）が１組
（４，３，３）が１組
合計３組ある。

（３ｂ）３が１つのみある場合を考える。
残りの２つの数ｎとｍのどれかは必ず４以上の数で無ければならない。
しかし、ｎ＝ｍ＝６の場合は、全係数が３で割り切れるのでダメである。
それ以外なら良い。

（３ｂ１）ｎが４の場合を考える。

（３ｂ１１）ｎが４であり、ｍが４の場合を考える。
（３，４，４）が１組
（４，３，４）が１組
（４，４，３）が１組
合計３組ある。

（３ｂ１２）ｎが４であり、ｍが１か２か６の場合を考える。
（３，ｎ，ｍ）が３組
（３、ｍ、ｎが３組
（ｎ、３、ｍ）が３組
（ｍ，３，ｎ）が３組
（ｎ，ｍ，ｓ）が３組
（ｍ，ｎ，３）が３組
合計３×２×３組＝３×６組ある。

ここまでの樹形図を書くと以下の樹形図になる。

このように複雑な樹形図を考えているから、この計算は、とても間違えやすい。

（３ｂ２）ｎ及びｍが４では無い場合（３でも無い）を考える。
係数の１つのｎが６でなければならない。
残りの係数ｍが６の場合は、全係数が３で割り切れるのでダメ。
結局、ｍは１か２のみである。
（３，６、ｍ）が２組
（６，３，ｍ）が２組
（３，ｍ，６）が２組
（６，ｍ，３）が２組
（ｍ、３，６）が２組
（ｍ，６，３）が２組
合計３×２×２組＝３×４組ある。

（３ｃ）３が１つも無い場合を考える。
（ａ，ｂ，ｃ）の全部が偶数の場合は２で割り切れるのでダメ。
５でも３でも無い奇数１が１つは必要。
また、４か６かが１つは必要。

（３ｃ１）奇数１が２つある場合
残りの係数ｎが４か６である。
（１，１，ｎ）が２組
（１，ｎ，１）が２組
（ｎ，１，１）が２組
合計３×２組ある。

（３ｃ２）奇数１が１つのみある場合

（３ｃ２１）残りの係数に２がある場合
最後の係数ｎは４か６でなければならない。
（１，２，ｎ）が２組
（２，１，ｎ）が２組
（１，ｎ，２）が２組
（２，ｎ，１）が２組
（ｎ，１，２）が２組
（ｎ，２，１）が２組
合計３×２×２＝３×４組ある。

（３ｃ２２）残りの係数に２が無い場合
ｎは４か６、ｍも４か６
（１，ｎ，ｍ）が２×２＝４組
（ｎ，１，ｍ）が４組
（ｎ，ｍ，１）が４組
合計３×４組ある。

《総合計》
３×（５＋２５＋１＋６＋１＋４＋２＋４＋４）
＝３×５２＝６×２６

確率＝６×２６/6^3
＝２６/6^2
＝１３／（６×３）
＝１３／１８
（答え）

【解答（その２）】
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上の数であって、しかも、a,b,c が同じ整数で割り切れない場合に、ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋ，がさいころの他の目の数では表されない場合になる。
そういう場合の数を、 そうならない場合の数を数え挙げることで求める。

　そうならない場合を数え上げる樹形図は以下の形に単純化されているので、数え間違いのリスクが減っている。


（１）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の１か２か３である場合
３×３×３＝３×９通りある。

（２）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上であって、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合の数を以下で数える。

（２ａ）全ての係数が同じ値であって、その値で割り切れる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，６，６）
（５，５，５）
（４．４．４）
合計３組ある。

（２ｂ）全ての係数が同じでは無い場合

（２ｂ１）３で割り切れる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，６，３）
（６，３，６）
（３，６，６）
（６，３，３）
（３，６，３）
（３，３，６）
合計３×２組ある。

（２ｂ２）３で割り切れないが２で割り切れる場合

（２ｂ２１）６がある場合

（２ｂ２１１）６が２つある場合
（６，６，２）
（６，２，６）
（２，６，６）
（６，６，４）
（６，４，６）
（４，６，６）
合計３×２組ある。

（２ｂ２１２）６が１つのみある場合

（２ｂ２１２１）６以外の係数ｎが等しい場合
ｎが２か４である
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，ｎ，ｎ）２組
（ｎ，６，ｎ）２組
（ｎ，ｎ，６）２組
合計３×２組ある。

（２ｂ２１２２）６以外の係数ｎとｍが異なる場合
（ａ，ｂ，ｃ）＝
（６，４，２）
（２，６，４）
（４，２，６）
（６，２，４）
（４，６，２）
（２，４，６）
合計３×２組ある。

（２ｂ２２）６が無い場合、
（４，４，２）
（４，２，４）
（２，４，４）
（４，２，２）
（２，４，２）
（２，２，４）
合計３×２組ある。

《総合計》
３×（９＋１＋２×５）
＝６０

確率＝１－６０/6^3
＝１－５/１８
＝１３/１８
（答え）

【解答（その３）】
以下の重複事象統合樹形図を利用して、問題の場合の条件が成り立たない場合の数を、重複部を差し引いて数え上げる事で問題を解く。
すなわち、『（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の数であるか（その場合は、全係数を２倍以上にできる）、
又は、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合』
の数を重複部を差し引いて数え挙げることで問題を解く。


（１）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれもが４未満の１か２か３である場合
３×３×３＝２７通りある。

（２）
（ａ，ｂ，ｃ）の係数のどれかが４以上であって、a,b,c が同じ整数で割り切れる場合の数を以下で数える。

（２ａ）全てが５で割り切れる場合
（５，５，５）の１組がある。

（２ｂ）全てが３で割り切れる場合から、（３，３，３）を除外した数：
２×２×２－１＝７通りある。

（２ｃ）全てが２で割り切れる場合から、（２，２，２）と、全てが３でも割り切れる場合の（６，６，６）を除外した数：
３×３×３－２＝２５通りある。

《総合計》
２７＋１＋７＋２５＝６０

確率＝１－６０/6^3
＝１－５/１８
＝１３/１８
（答え）

（補足）
 　この問題のように、解答（その３）の解き方の様に重複部を差し引く計算をすると簡単に解けるが、それ以外の解き方をすると計算が複雑になって間違え易いという設問、を多く見かけます。

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3次元ベクトルの分解の公式の証明

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【課題】
　以下の図の３次元ベクトルｚを、３次元ベクトルａとｂとｃの方向のベクトルの和であらわす公式を導き出す。
　３次元ベクトルの分解の公式は、以下の図の平行６面体の体積比を使ってあらわせる。

（3次元ベクトルの分解の公式おわり）

【第１の証明】
（１）ベクトルａの方向の単位ベクトルをベクトルＳとする。
（２）ベクトルａとベクトルｂの張る平面上のベクトルで、ベクトルａに垂直な単位ベクトルをベクトルＴとする。
（３）ベクトルＳとベクトルＴの外積をベクトルＵとする。ベクトルＵは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｓ，Ｔ，Ｕで、ベクトルａ，ｂ，ｃ，Ｚが以下の図のように表せる。


このとき、以下の式が成り立つ。

また、公式の右辺の各項が以下の式で表せる。

式５から６を合わせると以下の式が成り立つ。

（公式の第１の証明おわり）

【究極の方法】
　この証明から分かるように、問題を解くためにとても役にたつ方法は、このベクトルの分解の公式等を使うよりも、上図のように、ベクトルＳとベクトルＴとベクトルＵによる直交座標系を導入することである。そうして、上の様に、ベクトルＺをその直交座標系への成分に分解して問題を解く方が、問題を解くのに役に立つ。

【第２の証明】
ベクトルｚはベクトルa，ｂ，ｃを用いて以下の式であらわされる。

この式と、ベクトルａとｂの外積ベクトルとの内積をとる。すると、ベクトルａとｂの項が消えた式が得られるので、ベクトルｃの係数ｐが求められる。

以上で各ベクトルの係数が求められたので、以下の式が得られた。

（第２の証明おわり）

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２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２元連立方程式の解
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対称性を利用した定積分（その２）

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
以下の定積分を求めよ。

【解答】

関数の対称性を利用して定積分すると、式２の被積分関数の第２項は、
（（奇関数）／（偶関数））（偶関数）＝（奇関数）
という形の式なので、積分結果が０になり、第１項だけが残る。

（解答おわり）

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指数関数の爆発性

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
ｎが大きい数の場合に、以下の関数の極限を求めよ。

【解答】
この関数の対数をとる。

下図に、式２の右辺の第１項と第２項の関数のグラフを描く。

ｘ→∞のとき、
第１項の関数の傾き→０に収束する。
そのため、以下の関係が成り立つ。

そのため、ｈが０に収束する。

（解答おわり）

（補足）
この問題の関数の極限が０になるということは、以下の事を意味する。
ｎがどんなに大きい数であっても、

が大きくなるよりも、

の方がもっと大きくなる。
指数関数は、爆発的に大きくなる。

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三角関数の逆関数の不定積分

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】以下の不定積分を求めよ。

（注意）tan^-1という記号は逆関数を表し、−１乗という意味の記号では無いことに注意すること。

【解答】

（解答おわり）
この解答のθは、以下の様に表せる自由がある。

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かろうじて初等関数で表される積分（その２）

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の問題の問３の方が問２より易しい（問１よりも易しいと言えるかもしれない）ので、それを先に解いてください。

【問１】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【解答】
（注意）この被積分関数は、ｘ＝０，－１で関数値がプラスマイナス無限大に発散して、その点で断絶しています。
この被積分関数は、その点を含まない区間でのみ積分できます。ｘ＞０の範囲内の区間では積分できます。
 （解答開始）
先ず、変数ｘの関数を以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。
ここで、
ｔ＞０
を満足する以下の変数ｔを定義します。

 （解答おわり）
　この問題は何とか解けましたが、この被積分関数が少しでも形を変えると、初等関数の解が無くなります。なお、この解き方は、以下の問２の解２の式４以降の解き方のように、変数変換の手順を分かり易く分けて解くこともできます。

（補足１）
以上の問１の問題は、以下の条件を満足したので、不定積分がかろうじて初等関数で表せました。
しかし、以下の条件を満足しなければ、このような初等関数の解を得る事ができません。

上の条件の２つ目の条件が満たされると、以下の計算のように、変数ｘをｔの逆数に変換するとｔの整数乗が出て来る。

そのため、変数ｘの整数乗があるか、ｘをｔの逆数に変換すれば変数ｔの整数乗が出て来ることが、初等関数の解を得る事ができる条件です。

【問２】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【解１】
　この不定積分は、補足１の条件を満足するので、初等関数で表せます。

　先ず、変数ｘの関数を以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

この式３の被積分関数は、問１の被積分関数と同じ形をしています。
そのため、これ以降の計算は、問１と同様に変数を変換して解く事ができます。
（以下の解答は省略）

【解２】
先ず、以下の式に変形します。

この変形で、このようにｘの整数乗が出てくれば、この積分は初等関数で表せることが分かります。次に、変数ｘを以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

次に、変数ｔを以下の変数ｕに置き換えて、置換積分します。

ここで、
Ｗ＞０
を満足する以下の変数Ｗを定義します。

 （解２おわり）

【問３】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。


【解答】
先ず、以下の式に変形します。

この変形で、このようにｘの整数乗が出てくれば、この積分は初等関数で表せることが分かります。次に、変数ｘを以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

次に、変数ｔを以下の変数ｕに置き換えて、置換積分します。

（解答おわり）

　以上の問１の形や問２や問３の形の被積分関数は、補足１の条件を満足しない場合には、その不定積分は初等関数では表せません。

　また、問２や問３の解き方のように、ｘの複雑な関数を積分しようとする場合には、ｘの逆数＝ｔで置換積分する。そうしたら、ｔで表された被積分関数が、問１の被積分関数ではｘの整数乗があるのと同様に、ｔの整数乗がある関数に変われば、不定積分が初等関数で表わせます。そうならなければ、その不定積分は初等関数で表せないという見通しを立てる事ができます。

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かろうじて初等関数で表される積分

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問０】
ｘ＞2のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
以下の解答は、あまりに単純なので覚えておいて使った方が良いと思う。 

（解答おわり）
　この問題の場合は、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が正であるので、積分結果が対数関数になった。
根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が負の場合は、積分結果は対数関数にはならない。
また、
１＜ｘ＜２
の範囲では、被積分関数の根号の中が負になってしまうので、この形の式の積分の解は無い。
また、
ｘ＜１
の範囲での積分の解は、
この式の右辺に（－１）が掛け算され、
根号の中には（－１）が掛け算された式になる。

【問１】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
（注意）この被積分関数は、ｘ＝０で関数値がプラスマイナス無限大に発散して、その点で断絶しています。
そのため、この被積分関数を積分できるのは、ｘ＜０の範囲内か、ｘ＞０の範囲内に限られています。
この問題の場合は、ｘ＞０の範囲内で不定積分をします。
 （解答開始）
先ず、変数ｘを置き換えるべき変数ｔを調べて、置換積分の準備をします。
ここで、
ｔ＞０
を満足する以下の変数ｔを定義します。

以上で準備したので、以下のように置換積分する。
計算の記述の簡易化のため積分定数Ｃの記載は省略する。

これでも、不定積分の解ですが（積分定数Ｃもつける）、
この解は、以下のように変形する事ができます。

これも不定積分の解ですが（積分定数Ｃもつける）、
この解は、更に以下のように変形する事ができます。

（解答おわり）
　この問題は何とか解けましたが、この被積分関数が少しでも形を変えると楕円積分になり、初等関数の解が無くなります。

（補足１）
以上の解答で同じ解を３つの形であらわしたが、どの形で解をあらわしても良いと考えます。
以下の様に同じ式の形が変化しています。

（補足２）
また、
ｘ＞０
の区間での積分については、
覚えやすい形に変形した以下の解を公式として覚えて使うと良いと考えます。

（補足３）
以下の公式も覚えておくと便利かもしれない。
実数ａと実数ｂで表される以下の不定積分：

 を解く場合に：

ゆえに：

（積分の公式）

（補足４）
以上の問１の問題は、以下の条件を満足したので、不定積分がかろうじて初等関数で表せました。
しかし、以下の条件を満足しなければ、このような初等関数の解を得る事ができません。

【問２】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答１】

ここで、補足２の公式を使って、以下の原始関数Hを考えます。

（解答１おわり）

【解答２】

（解答２おわり）
　この解答２の式は、解答１の式と同じ式です。

（補足４’）
問２は、補足４の条件を満足しているので、不定積分が初等関数で表せました。

次に、以上のパターンには当てはまらない以下の問３の不定積分も解く事ができます。

【問３】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【解答１】

次に、積分変数の変換の式を求める。

以上で準備した式を使って置換積分する。

（解答１おわり）
この解答の式は更に変形できるが、この形でも解である。
（この解は、準備していた式５は使わずに解けたが、式５は問題の構造を解析する準備に必要な式である。）

（補足５） 
　この問３の形の被積分関数が初等関数で解けたのは、被積分関数の√の中が、２次関数の式だったからです。√の中が、問１の場合以外の３次関数の場合には、楕円積分になって、初等関数の解では表わせなくなります。

【問３の解答２】
　この問題は、補足３の公式を使って以下の様に場合分けして解く事もできます。
（解答はじめ） 
（場合１）ｘ＞０　の区間での積分：

 ここで、変数ｘを変数ｔに変換する。

これに対して補足３の公式を使う。

（場合２）ｘ＜０　の区間での積分：

ｘ＞０の場合の不定積分もｘ＜０の場合の不定積分も、対数関数の中を絶対値で表せば（積分定数の違いはあるが）同じ式で表せる。
（解答２おわり）
　この解答２の式は、解答１の式と同じ式です。

（補足６）
この解答２の解き方から、補足３の公式に似た以下の公式がある。
実数ａと実数ｂで表される以下の不定積分： 

を解く場合に：
ｘ＞０　の積分区間では：

（以上が、ｘ＞０の区間の積分公式）
次に、
ｘ＜０　の積分区間では：

（以上が、ｘ＜０の区間の積分公式）
このような、ｂが正にも負にもなる様な問題を解く場合は、以上の、ｘ＞０の区間とｘ＜０の区間での積分公式を覚えて使うと便利だと思う。
（ｘ＞０の区間とｘ＜０の区間とで共通に使える積分公式の形は覚えにくい。） 

以下の理由によって、解答１の解き方よりも解答２の解き方の方が優れていると考える。

の不定積分を計算しようとした場合、解答２の方法ならば自然に解けるが、解答１のようにして解こうとすると、

という式１で定義した変数ｔを使う事で、解答１のようにして解ける。
しかし、変数ｔをこの式１て定義すれば問題が解けるという事は容易には思いつかない。（そもそも、そのような変数ｔは使わず、(x-1/2)=k(sinθ)というような変数θの三角関数を使って計算する。）
その様に、解答１の解き方は、汎用的な解き方では無いので、解答２の解き方の方が汎用性が有り優れていると考える。
（解答１の解き方は、補足３の公式を導き出す際に役立つ）

（補足７）
補足７の積分は、根号の中の２次式は、値が０になる実数解を持つ場合は、以下の公式であらわすこともできる。

（考察）
以上の様に、積分区間毎に、不定積分の解の形が異なるのが煩わしいかもしれません。しかし、不定積分は、１つながりに連結した解が１つの不定積分です。被積分関数の分母をまたいでは積分ができません。被積分関数の分母が０になる点で区間を切り離して、それぞれの区間で積分した、１つながりに連続した不定積分同士は異なる不定積分であって、いっしょにする事ができません。
積分区間毎に不定積分の解の形が異なる方が自然であって普通の事だと思います。
そのため、この補足７の解の方が、式の形も単純であって、優れた解であると考えます。 
（大学数学について）
　高校数学を十分に学んで高校数学を早く卒業して、大学数学を、基礎（これが大事）からしっかり学んで欲しいと思います。
　大学数学の概念を正しく使って、問題を誤りなく融通を利かせて解けるようになって欲しいと思います。
複素数の関数の概念を（しっかり理解して誤りなく）融通性を持たせて扱えるようになれば、解を場合分けしないで１つの式だけで表せるようになります。
また、根号の中の２次式は、値が０になる複素数の解を持ちます。その２次式を持つ関数の積分結果も、その複素数の解を使って以上の形で表せるようになります。
更に、根号の中の２次式にマイナス１を掛け算した式の積分の解は高校数学では三角関数の逆関数を使って表しますが、大学数学では三角関数の逆関数も、複素数を扱った対数関数で表す事ができます。
問０の問題の根号の中の式のｘの２次式のｘの２乗の項の係数が負になる場合の積分結果は三角関数の逆関数で表されます。その積分結果も、複素数を使った対数関数で表す事もできます。複素数を使って表現した方が簡単な解答になります。しかし、その様な手法は、大学数学で、複素数を扱う関数の基礎をしっかり學んだ上で使うべきであって、基礎をおろそかにして使って良い手法では無いと考えます。早く、正規な大学数学を学べるレベルに到達するように、しっかり学んで行って欲しいと思います。

（補足８）
　以上の形の被積分関数が補足４の条件を満足しない場合には不定積分の解が初等関数で表せない。

　この形以外の形の被積分関数が初等関数で表せるか否かについては、
「初等関数で表せない不定積分のいろいろ」
のページに記載した判定方法で判定しています。

　しかし、
「初等関数で表せない不定積分のいろいろ」
のページに記載した判定方法は、以上の形の被積分関数を判定するのにはむいていないので、注意が必要です。

その理由は、以上の形の被積分関数の項を含む原始関数は沢山のバラエティがあって、それらのバラエティを全て考慮して被積分関数を判定する作業は膨大な作業になるからです。

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