積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

以下の三角関数の積の分数の式を分解する公式では、分解した分数式の分子に、分母を微分した導関数があらわれる。

【公式A】 
以下の式(1a)：

が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
右辺を以下のように変形する。

（証明おわり）

【公式B】 
以下の式(1b)：

が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
右辺を以下のように変形する。

（証明おわり）

【公式１】 
 角度ｘと角度ｘ＋ａに関して、以下の式(1)：

が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
左辺を以下のように変形する。

（証明おわり）

【公式２】 
 角度ｘと角度ｘ＋ａに関して、以下の式(２)：

が成り立つ事を証明せよ。

【公式３】 
 角度ｘと角度ｘ＋ａに関して、以下の式(３)：

が成り立つ事を証明せよ。

【公式２と公式の証明をまとめて証明する】
以下の式を変形する。

（証明おわり）

【公式４】 
 角度ｘに関して、以下の式(４)：

が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
右辺を以下のように変形する。

（証明おわり）

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tan(x/2)を変数tに置換して計算しない方が良い積分

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問２】
以下の不定積分を求めよ。


【解答】
この問題を、
tan(x/2)=ｔという変数変換を導入しないで以下の様に解きます。

　すなわち、cos(x)+sin(x)=(√2)sin(x+π/4)というまとまった１つの三角関数を利用して、その１つの三角関数を使って式を書き直します。
　sin(x+π/4)と書くよりは、(cos(x)+sin(x))と書く方が式が単純になるので、(cos(x)+sin(x))を１まとまりの項として扱って、以下の様に計算します。



（解答おわり）
なお、「無理関数の式への因数分解の公式」のページの以下の式が成り立つ。



（補足）
　なお、ここで、tan(x/2)=ｔとする変数ｔに置換して積分の計算をすると、その積分の解が、上式の様な単純な形では表されずに、もつれた形の解になります。そのもつれた形の式が上式の解と等しくなる法則を研究するのも興味深いことだと思います。

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