３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
ｋの値を求めよ。
　言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
　更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。

【解答】
　４点ＯＡＢＣが同一平面上にある場合、ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。

ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせます。

そして、ベクトルＯAとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にある条件は以下の式(4)であらわせます。

この式(4)を以下のように解きます。



これで、パラメータｋの値が求まった。
（解答おわり）

【問２】
問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。

【解答】
　先ず、以下の式が成り立つ。

ベクトルＯＰを以下の２通りにあらわす。

この２つのあらわし方のベクトルＯＰを等しいとする下のベクトル方程式(25)を記述して解く。
（ただし、下のベクトル方程式(25)が解を持つためには、３つのベクトルOA,AB,OCが同一平面上にあることが必要です）

（解答おわり）

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空間図形の面と直線の交点（２）

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【問２】
四面体OABCがあり、

とし、点Ｄを、以下の式(1)で定める。

点Xは、三角形ABCの辺上または内部にあるものとして、以下の式(2)で定める。

このとき、直線DXと平面OABとの交点Pの位置をあらわすベクトルＯＰを求めよ。

【解答】
　先ず、問題をあらわす図を書く。

ここで、以下の式(3)(4)が成り立つ。

この式(3)(4)の変数p1,p2,uを 以下の計算で求める。

この式(5)と式(3)を連立して、ベクトルａ，ｂ，ｃの係数を合わせて、以下の連立方程式を得る。

ここで式(8)からｕが以下の式(9)であらわせる。

この式(9)を式(7)(8)に代入して、p1,p2を以下の計算で求める。

ベクトルOPの解は、式(3)であらわせ、そのベクトルの係数は式(10)(11)であらわせる。
（解答おわり）

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