これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【難問】三角形ＡＢＣにおいて、
ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≦（１／８） （式１）
を証明せよ。そして、△ＡＢＣが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。
（予備知識）
加法定理（２倍角と半角の公式）を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の発案が解答のポイントの問題を解きます。
この問題は、一部に半角の定理を使いますが、それ以外の発案がポイントです。
（解答）
（求める答えを、より易しい答えにできないかを考える）
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。
ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣの式は角度がＡとＢとＣとの３つもあるから難しい。そのため、考えなければならない角度の数を減らした問題に、問題をかみくだいて考える。
角Ａを固定して、角Ｂと角Ｃだけを考えて、式１が最大になる場合を考える。
その場合、角Ｂ＝角Ｃ＝（π－Ａ）／２＝αの場合に式１が最大になるだろうと予測できる。
角Ｂと角Ｃをαと補正角βとであらわす。
α＝（π－Ａ）／２ （式２）
Ｂ＝α＋β （式３）
Ｃ＝α－β （式４）
式１の左辺をＤとおく。
この式の括弧（）内に、
を加える。
式５が最大になる場合は、β＝０の場合である。その場合は、
ここで、半角の公式を使う。
式６のＤが最大になる場合は、β＝０、かつ、ｃｏｓＡ＝（１／２）になる場合であって、そのＤの最大値は（１／８）。
ｃｏｓＡ＝（１／２）の場合は∠Ａ＝π／３＝６０°
また、β＝０の場合、
∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°
すなわち、正三角形の場合にＤは最大値になる。
正三角形以外の場合は、式６と式５から、Ｄ＜（１／８）である。
（証明おわり）
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