覚えておくと便利な逆関数の公式

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。

(2)上の式の根号であらわした項をｙで表せ。

【問２】以下の関数の逆関数を求めよ。

【問３】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。
(2)上の式の根号であらわした項をｙで表せ。

【問４】以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。

【問５】以下の関数の逆関数を求めよ。


【問６】以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。

【問７】以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。

【問１】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。

(2)上の式の根号であらわした項をｙで表せ。

【問１の解答（その１）】
(1)

ただし、ｙ＞０

（解答（その１(1)）おわり）

(2)

（解答（その１(2)）おわり）

【問１の解答（その２）】


（解答（その２）おわり）

【問２】以下の関数の逆関数を求めよ。

【問２の解答（その１）】

ただし、ｙ＜０

（解答（その１）おわり）

【問２の解答（その２）】


（解答（その２）おわり）

【問３】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。
(2)上の式の根号であらわした項をｙで表せ。

【問３の解答】
(1)

（ただし、ｙ≧ｘ，ｘ≧１）

ｙ≧ｘなので、ｙ≧１
この解のｘは、 上図のグラフの赤線で囲った部分のｙで表される。
（解答おわり） 

(2) 
 
（解答おわり）

（補足）この問３で、
ｘ＜０の場合の逆関数は、以下のように解ける。

【解答】 

この解のｘは、上図のグラフの赤線で囲った部分のｙで表される。
（解答おわり）
－１≦ｙ＜０，と１≦ｙの範囲を使うことで、
ｘ≧１の場合とｘ≦－１の場合に共通に：
ｘ＝（１／２）（ｙ＋（１／ｙ））
の式で逆関数があらわされる。
また、
y(－x)=－1/y(x),
の関係がある。

【問４】以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。

【問４の解答】

（ただし、ｙ≦ｘ，ｘ≧１）

ｙ≦ｘなので、
グラフから、ｙ≦１が分かる。
（解答おわり）

（補足）この問４で、
ｘ＜０の場合の逆関数は、以下のように解ける。

 ０＜ｙ≦１，とｙ≦－１の範囲を使うことで、
ｘ≧１の場合とｘ≦－１の場合に共通に：
ｘ＝（１／２）（ｙ＋（１／ｙ））
の式で逆関数があらわされる。

【問５】以下の関数の逆関数を求めよ。


【解答】

x≧０のときｙ≧０，
x≦０のときｙ≦０，

この関数のグラフを描くと以下の図になります。
（図の変数は、上式の変数ｘ，ｙと異なるので注意）

（解答おわり）

【問６】以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。

【解答】

（ただし、ｙ≧０）

（解答おわり） 

【問７】以下の関数の逆関数を求めよ。

ただし、ｘ≧１とする。

【解答】

 よって、ｙ≦０

（解答おわり）

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