2019年7月6日土曜日

覚えておくと便利な逆関数の公式


【問1】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。
(2)上の式の根号であらわした項をyで表せ。

【問2】以下の関数の逆関数を求めよ。

【問3】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。
(2)上の式の根号であらわした項をyで表せ。

【問4】以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。

【問5】以下の関数の逆関数を求めよ。


【問6】以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。

【問7】以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。

【問1】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。
(2)上の式の根号であらわした項をyで表せ。

【問1の解答(その1)】
(1)
ただし、y>0
(解答(その1(1))おわり)

(2)
(解答(その1(2))おわり)

【問1の解答(その2)】


(解答(その2)おわり)

【問2】以下の関数の逆関数を求めよ。
【問2の解答(その1)】
ただし、y<0

(解答(その1)おわり)

【問2の解答(その2)】


(解答(その2)おわり)

【問3】(1)以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。
(2)上の式の根号であらわした項をyで表せ。

【問3の解答】
(1)
(ただし、y≧x,x≧1)
y≧xなので、y≧1
この解のxは、 上図のグラフの赤線で囲った部分のyで表される。
(解答おわり) 

(2) 
 
(解答おわり)

(補足)この問3で、
x<0の場合の逆関数は、以下のように解ける。
【解答】 
この解のxは、上図のグラフの赤線で囲った部分のyで表される。
(解答おわり)
-1≦y<0,と1≦yの範囲を使うことで、
x≧1の場合とx≦-1の場合に共通に:
x=(1/2)(y+(1/y))
の式で逆関数があらわされる。
また、
y(-x)=-1/y(x),
の関係がある。

【問4】以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。

【問4の解答】
(ただし、y≦x,x≧1)

y≦xなので、
グラフから、y≦1が分かる。
(解答おわり)

(補足)この問4で、
x<0の場合の逆関数は、以下のように解ける。
 0<y≦1,とy≦-1の範囲を使うことで、
x≧1の場合とx≦-1の場合に共通に:
x=(1/2)(y+(1/y))
の式で逆関数があらわされる。

【問5】以下の関数の逆関数を求めよ。


【解答】
x≧0のときy≧0,
x≦0のときy≦0,

この関数のグラフを描くと以下の図になります。
(図の変数は、上式の変数x,yと異なるので注意)
(解答おわり)

【問6】以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。

【解答】
(ただし、y≧0)
(解答おわり) 

【問7】以下の関数の逆関数を求めよ。
ただし、x≧1とする。

【解答】
 よって、y≦0
(解答おわり)

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