対称性を用いた定積分

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
f(x)を連続関数とすると、

が成り立つことを示せ。

【解答１】
関数の対称性を利用するため、変数ｘを以下の式２で定義する変数ｔに変換して、ｔの対称な積分範囲で積分する。

 式１の左辺は以下の式に変換できる。

ここで、関数の対称性を利用する。

式３の第１項（式４の左辺）は、t・f(cos(t))の積分である。
cos(t)はｔに関して、cos(-t)=cos(t)となる対称関数（偶関数）である。
そのため、f(cos(t))も、ｔに関して対称な関数（偶関数）になる。
一方、関数 t は、ｔに関して反対称な(ｔの符号が正負逆になれば、値も正負逆になる)関数（奇関数）である。
ｔに関して対称な関数と、ｔに関して反対称な関数の積は、ｔに関して反対称な関数（奇関数）になる。
そのため、t・f(cos(t))は、ｔに関して反対称な関数（奇関数）である。
ｔに関して反対称な関数（奇関数）を、対称な範囲[-a,a]で積分すれば、積分結果は０になる。
式３の第１項は、反対称な関数（奇関数） t・f(cos(t))を対称な範囲で積分しているので、式４のように、その積分結果は０になる。
そのため、積分Aは以下の式で計算できる。

（解答１おわり）

【解答２】
関数の対称性を利用するため、変数ｘを以下の式２で定義する変数ｔに変換して、ｔの対称な積分範囲で積分する。

 式１の左辺は以下の式３に変換できる。

 ここで、この被積分関数のｔを－ｔに置き換えた関数は、ｔ＝０となるｙ軸を鏡にした左右逆の関数になり、左右が入れ替わった関数になるが、
左右が逆という事以外は同じ形の関数になるので、
それをｔの対称な積分範囲で積分した値も同じ値Ａになる。
よって、積分Ａは、式３の関数の積分Ａと、ｔを－ｔに置き換えた関数の積分Ａを加えて２で割り算した値になる。

（解答２おわり）

【解答２の２】
解答２の式３の後の計算は、以下の様に計算することもできる。

（解答２の２おわり）

【解答３】
　解答２の様に、「関数の積分は、その関数を左右を逆にした関数の積分と等しい」という事を使って、その２つの関数の和の平均値で積分を求める。

そのため、先ず、「関数の積分は、その関数を左右を逆にした関数の積分と等しい」という事（当たり前だとは思うが）を以下の様に証明して用いる。

この式５によって、「関数の積分は、その関数を左右を逆にした関数の積分と等しい」事が証明できた。
そのため、以下の式で積分Ａを求める。

（解答３おわり）

【解答４】
解答１で変数ｘを変数ｔに変換して計算する計算を、下図のように、関数の対称軸をY軸から、ｘ＝π／２ の軸に移動させて、その対称軸を基準にして関数を考える。

被積分関数を、この対称軸に関して対称な関数成分と反対称な関数成分に分けて考える。
それは、ｙ＝ｘという関数を、
ｙ＝π／２という関数と、
ｙ＝ｘ－π／２という関数
に分割する事で行なえる。
対称な関数の成分についてのみ積分すれば、式１の左辺の積分が、

式１の右辺の積分になる。
（解答４おわり） 

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関数の関数乗の問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題２】 
以下の関数 h(x)を微分せよ。
ただし、ｘ＞０とする。

【解１】
両辺の対数をとり、微分する。

（解１おわり） 

【解２】
解１の式２から、h(x)を、変数ｘを完全に媒介変数ｓに置き換えて、ｓだけで表した関数m(s)が得られる。

そのため、この関数m(s)を使った合成関数の微分の公式が使える。
更に、この関数m(s)を、変数ｓを完全に媒介変数ｕに
置き換えて、ｕだけで表した関数 g(u)が得られる。

そのため、この関数 g(u) を使った合成関数の微分の公式が使える。
よって、以下の合成関数の微分の公式の連鎖の計算ができる。

 （解２おわり）

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