かろうじて初等関数で表される積分（その２）

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の問題の問３の方が問２より易しい（問１よりも易しいと言えるかもしれない）ので、それを先に解いてください。

【問１】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【解答】
（注意）この被積分関数は、ｘ＝０，－１で関数値がプラスマイナス無限大に発散して、その点で断絶しています。
この被積分関数は、その点を含まない区間でのみ積分できます。ｘ＞０の範囲内の区間では積分できます。
 （解答開始）
先ず、変数ｘの関数を以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。
ここで、
ｔ＞０
を満足する以下の変数ｔを定義します。

 （解答おわり）
　この問題は何とか解けましたが、この被積分関数が少しでも形を変えると、初等関数の解が無くなります。なお、この解き方は、以下の問２の解２の式４以降の解き方のように、変数変換の手順を分かり易く分けて解くこともできます。

（補足１）
以上の問１の問題は、以下の条件を満足したので、不定積分がかろうじて初等関数で表せました。
しかし、以下の条件を満足しなければ、このような初等関数の解を得る事ができません。

上の条件の２つ目の条件が満たされると、以下の計算のように、変数ｘをｔの逆数に変換するとｔの整数乗が出て来る。

そのため、変数ｘの整数乗があるか、ｘをｔの逆数に変換すれば変数ｔの整数乗が出て来ることが、初等関数の解を得る事ができる条件です。

【問２】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【解１】
　この不定積分は、補足１の条件を満足するので、初等関数で表せます。

　先ず、変数ｘの関数を以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

この式３の被積分関数は、問１の被積分関数と同じ形をしています。
そのため、これ以降の計算は、問１と同様に変数を変換して解く事ができます。
（以下の解答は省略）

【解２】
先ず、以下の式に変形します。

この変形で、このようにｘの整数乗が出てくれば、この積分は初等関数で表せることが分かります。次に、変数ｘを以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

次に、変数ｔを以下の変数ｕに置き換えて、置換積分します。

ここで、
Ｗ＞０
を満足する以下の変数Ｗを定義します。

 （解２おわり）

【問３】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。


【解答】
先ず、以下の式に変形します。

この変形で、このようにｘの整数乗が出てくれば、この積分は初等関数で表せることが分かります。次に、変数ｘを以下の変数ｔに置き換えて、置換積分します。

次に、変数ｔを以下の変数ｕに置き換えて、置換積分します。

（解答おわり）

　以上の問１の形や問２や問３の形の被積分関数は、補足１の条件を満足しない場合には、その不定積分は初等関数では表せません。

　また、問２や問３の解き方のように、ｘの複雑な関数を積分しようとする場合には、ｘの逆数＝ｔで置換積分する。そうしたら、ｔで表された被積分関数が、問１の被積分関数ではｘの整数乗があるのと同様に、ｔの整数乗がある関数に変われば、不定積分が初等関数で表わせます。そうならなければ、その不定積分は初等関数で表せないという見通しを立てる事ができます。

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