3次元ベクトルの分解の公式の証明

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【課題】
　以下の図の３次元ベクトルｚを、３次元ベクトルａとｂとｃの方向のベクトルの和であらわす公式を導き出す。
　３次元ベクトルの分解の公式は、以下の図の平行６面体の体積比を使ってあらわせる。

（3次元ベクトルの分解の公式おわり）

【第１の証明】
（１）ベクトルａの方向の単位ベクトルをベクトルＳとする。
（２）ベクトルａとベクトルｂの張る平面上のベクトルで、ベクトルａに垂直な単位ベクトルをベクトルＴとする。
（３）ベクトルＳとベクトルＴの外積をベクトルＵとする。ベクトルＵは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｓ，Ｔ，Ｕで、ベクトルａ，ｂ，ｃ，Ｚが以下の図のように表せる。


このとき、以下の式が成り立つ。

また、公式の右辺の各項が以下の式で表せる。

式５から６を合わせると以下の式が成り立つ。

（公式の第１の証明おわり）

【究極の方法】
　この証明から分かるように、問題を解くためにとても役にたつ方法は、このベクトルの分解の公式等を使うよりも、上図のように、ベクトルＳとベクトルＴとベクトルＵによる直交座標系を導入することである。そうして、上の様に、ベクトルＺをその直交座標系への成分に分解して問題を解く方が、問題を解くのに役に立つ。

【第２の証明】
ベクトルｚはベクトルa，ｂ，ｃを用いて以下の式であらわされる。

この式と、ベクトルａとｂの外積ベクトルとの内積をとる。すると、ベクトルａとｂの項が消えた式が得られるので、ベクトルｃの係数ｐが求められる。

以上で各ベクトルの係数が求められたので、以下の式が得られた。

（第２の証明おわり）

リンク：
２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２元連立方程式の解
高校数学の目次