以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
（各人を区別できる）9人を、(人数指定なく、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問２】
（各人を区別できる）9人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問３】
（各人を区別できる）9人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問４】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問５】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【考察】《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
以下、各問毎に解答する。
【問１】
（各人を区別できる）9人を、(人数指定なく、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
先ず、（各人を区別できる）9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃに区別した３つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）（各人を区別できる人を）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
組の区別が無い場合の組み分けの区別の仕方は、組に入っている人を基準にして組み分けを区別する。ある人１が入っている組を１組とし、ある人２が入っている組を２組とし、ある人３が入っている組を３組とする。その各組の成員が同じ人であれば同じ組み分けであるとする。成員が異なれば異なる組み分けであるとする。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、３・２＝３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組９人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、３つの組分けができるだけである。
なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組ならば、組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことである。
そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく3つの組に分ける組み合わせの数は、
以下の数になる。
（解答おわり）
【問２】
（各人を区別できる）9人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
（０）先ず、9人を、(人数指定なく0人もOK）Ａ，Ｂに区別した２つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）A組１人以上、B組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、２！の異なる組分けができる。
この場合の、組の区別を無くした組分けの数が求める組分けの数である。
（２）一方、A組０人B組９人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、２つの組分けができる。
組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けを１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく、１組には１人以上入れた２つの組に分ける組み合わせの数を求める。それは、（１）の場合の、組の区別を無くした組分けの数である。
その計算は、（０）の場合から、（２）の場合を引き算して、それを２！で割り算することで求められる。
（解答おわり）
【問３】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
（０）先ず、9人を、(人数指定なく０人もOK）Ａ，Ｂ，Ｃに区別した３つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
この場合の、組の区別を無くした組分けの数が求める組分けの数である。
（２）A組０人、B組１人以上のｎ人、Ｃ組９－ｎ人の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組９人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、３つの組分けができるだけである。
なぜなら、組が区別される場合において、上の組み分けのA組とB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えると組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合のみである。
組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく、１組には１人以上入れた３つの組に分ける組み合わせの数を求める。その数を以下の様にして計算する。
（０）の場合から、（３）の場合を引き算して、それを３！で割り算することで組の区別を無くした組分けの数を求める。
その数から、（２）の場合の数を引き算することで、（１）の場合の組の区別を無くした組分けの数が求まる。（２）の場合の数は、問２の解で得られている。
よって、（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせの数は、（１）の場合の組の区別を無くした組分けの数であり、それは、以下の計算で求められる。
（解答おわり）
【問４】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
（０）先ず、９人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに区別した４つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
このうち、A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上、Ｄ組１人以上の４つの組に分ける場合での、ある１つの組分けは、組の名前を入れ替えると、４！の異なる組分けができる。この場合の、組の区別がある組み分けの数を４！で割り算して組の区別を無くした組分けの数が求める解である。
そのため、組の区別がある組み合わせの全てから、順に、１人以上が組に入る、４つ未満の組への組み分けの数を引き算して、残った組み分けの数を４！で割り算すれば求める組み分けの数が得られる。
先ず、以下の（組の区別がある）組み分けの数を考える。
（１）１組にのみ全員が組分けされ、残りの３組が０人の場合は、その１つの組み分けは、その４組の組の名前を入れ替えると、４つの異なる組み分けができる。この場合に組み分けの総数は、以下の数ある。ただし、Ａ１は組の区別が無い場合の１組にのみ組み分けされる組み分けの数である。
（２）１人以上を持つ２組にのみ全員が組分けされ、残りの２組が０人の場合は、そのうちの１つの組み分けは、その４組の組の名前を入れ替えると、４＊３の異なる組み分けができる。この場合の組み分けの総数は、以下の数ある。ただし、Ａ３は、組の区別が無い場合の２組にのみ組み分けされる組み分けの数である。
（３）１人以上を持つ３組にのみ組分けされ、残りの１組が０人の場合は、そのうちの１つの組み分けは、その４組の組の名前を入れ替えると、４＊３＊２の異なる組み分けができる。この場合の組み分けの総数は、以下の数ある。ただし、Ａ３は、組の区別が無い場合の３組にのみ組み分けされる場合の数である。
（４）よって、（組の区別がある場合の）１人以上を持つ４組にのみ組分けされた場合の数は、（０）の場合から、（１）から（３）の場合の数を引き算した数がある。
そして、その場合において、組の区別を無くした組分けの場合の数Ａ４は、その数を４！で割り算することで得られ、以下の数がある。
（解答おわり）
ここで、（組の区別を無くした場合での）１人以上を持つ１組のみへの組分けの場合の数から、２組のみ、３組のみ、４組のみへの組分けの数の解を列挙すると以下の式で表される。
上の式を詳細に計算すると以下の式で表される。
【問５】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
先ず、9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに区別した４つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上、Ｄ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、４！の異なる組分けができる。組の区別が無い場合の組み分けの区別の仕方は、組に入っている人を基準にして組み分けを区別する。ある人１が入っている組を１組とし、ある人２が入っている組を２組とし、ある人３が入っている組を３組とし、ある人４が入っている組を４組とする。その各組の成員が同じ人であれば同じ組み分けであるとする。成員が異なれば異なる組み分けであるとする。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上、Ｄ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、４・３・２＝４！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人、C組１人以上、Ｄ組１人以上の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、４・３＝１２の組分けができるだけである。なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組ならば、組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことである。
（４）また、A組０人B組０人、C組０人、Ｄ組１人以上の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、４つの組分けができるだけである。なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組と０人のC組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことだからである。
（５）そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく４つの組に分ける組み合わせの数は、以下の手順で求める。
（５－１）先ず、（４）の場合の、（組の区別が無く）１組にのみ全員を入れる組分けの数Ｃ１を求める。
（５－２）次に、（３）の場合の、（組の区別が無く）２組にのみ(各組に１人以上入れて)全員を入れる組分けの数Ｃ２を求める。
（５－３）次に、9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに区別した４つの組に分ける組み合わせの数から、Ｃ１・４を引き算し、更に、Ｃ２・４・３を引き算する。その値を４！で割り算して組の区別を無くした数に、Ｃ１とＣ２を足し算する。その値が、求めるべき、（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせの数である。
Ｃ１＝１組である。
Ｃ２は、問２の解で得られている。
よって、以下の数で計算できる。
（解答おわり）
【考察】《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
以下で、問５の解答の考え方を（人数を変えて）検算します。
▷人数が２人の場合は：
この答えは合っている。
▷人数が３人の場合は：
この答えは合っている。
▷人数が４人の場合は：
この答えも合っている。
なお、組名が区別されている組分けの数には、以下の数学的構造がある。
リンク：
高校数学の目次
【問１】
（各人を区別できる）9人を、(人数指定なく、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問２】
（各人を区別できる）9人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問３】
（各人を区別できる）9人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問４】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問５】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【考察】《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
以下、各問毎に解答する。
【問１】
（各人を区別できる）9人を、(人数指定なく、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
先ず、（各人を区別できる）9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃに区別した３つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）（各人を区別できる人を）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
組の区別が無い場合の組み分けの区別の仕方は、組に入っている人を基準にして組み分けを区別する。ある人１が入っている組を１組とし、ある人２が入っている組を２組とし、ある人３が入っている組を３組とする。その各組の成員が同じ人であれば同じ組み分けであるとする。成員が異なれば異なる組み分けであるとする。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、３・２＝３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組９人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、３つの組分けができるだけである。
なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組ならば、組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことである。
そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく3つの組に分ける組み合わせの数は、
以下の数になる。
（解答おわり）
【問２】
（各人を区別できる）9人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
（０）先ず、9人を、(人数指定なく0人もOK）Ａ，Ｂに区別した２つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）A組１人以上、B組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、２！の異なる組分けができる。
この場合の、組の区別を無くした組分けの数が求める組分けの数である。
（２）一方、A組０人B組９人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、２つの組分けができる。
組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けを１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく、１組には１人以上入れた２つの組に分ける組み合わせの数を求める。それは、（１）の場合の、組の区別を無くした組分けの数である。
その計算は、（０）の場合から、（２）の場合を引き算して、それを２！で割り算することで求められる。
（解答おわり）
【問３】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
（０）先ず、9人を、(人数指定なく０人もOK）Ａ，Ｂ，Ｃに区別した３つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
この場合の、組の区別を無くした組分けの数が求める組分けの数である。
（２）A組０人、B組１人以上のｎ人、Ｃ組９－ｎ人の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組９人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、３つの組分けができるだけである。
なぜなら、組が区別される場合において、上の組み分けのA組とB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えると組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合のみである。
組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく、１組には１人以上入れた３つの組に分ける組み合わせの数を求める。その数を以下の様にして計算する。
（０）の場合から、（３）の場合を引き算して、それを３！で割り算することで組の区別を無くした組分けの数を求める。
その数から、（２）の場合の数を引き算することで、（１）の場合の組の区別を無くした組分けの数が求まる。（２）の場合の数は、問２の解で得られている。
よって、（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせの数は、（１）の場合の組の区別を無くした組分けの数であり、それは、以下の計算で求められる。
（解答おわり）
【問４】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
（０）先ず、９人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに区別した４つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
このうち、A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上、Ｄ組１人以上の４つの組に分ける場合での、ある１つの組分けは、組の名前を入れ替えると、４！の異なる組分けができる。この場合の、組の区別がある組み分けの数を４！で割り算して組の区別を無くした組分けの数が求める解である。
そのため、組の区別がある組み合わせの全てから、順に、１人以上が組に入る、４つ未満の組への組み分けの数を引き算して、残った組み分けの数を４！で割り算すれば求める組み分けの数が得られる。
先ず、以下の（組の区別がある）組み分けの数を考える。
（１）１組にのみ全員が組分けされ、残りの３組が０人の場合は、その１つの組み分けは、その４組の組の名前を入れ替えると、４つの異なる組み分けができる。この場合に組み分けの総数は、以下の数ある。ただし、Ａ１は組の区別が無い場合の１組にのみ組み分けされる組み分けの数である。
（２）１人以上を持つ２組にのみ全員が組分けされ、残りの２組が０人の場合は、そのうちの１つの組み分けは、その４組の組の名前を入れ替えると、４＊３の異なる組み分けができる。この場合の組み分けの総数は、以下の数ある。ただし、Ａ３は、組の区別が無い場合の２組にのみ組み分けされる組み分けの数である。
（３）１人以上を持つ３組にのみ組分けされ、残りの１組が０人の場合は、そのうちの１つの組み分けは、その４組の組の名前を入れ替えると、４＊３＊２の異なる組み分けができる。この場合の組み分けの総数は、以下の数ある。ただし、Ａ３は、組の区別が無い場合の３組にのみ組み分けされる場合の数である。
（４）よって、（組の区別がある場合の）１人以上を持つ４組にのみ組分けされた場合の数は、（０）の場合から、（１）から（３）の場合の数を引き算した数がある。
そして、その場合において、組の区別を無くした組分けの場合の数Ａ４は、その数を４！で割り算することで得られ、以下の数がある。
（解答おわり）
ここで、（組の区別を無くした場合での）１人以上を持つ１組のみへの組分けの場合の数から、２組のみ、３組のみ、４組のみへの組分けの数の解を列挙すると以下の式で表される。
上の式を詳細に計算すると以下の式で表される。
【問５】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【解答】
先ず、9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに区別した４つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
通りある。
ここで、
（１）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上、Ｄ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、４！の異なる組分けができる。組の区別が無い場合の組み分けの区別の仕方は、組に入っている人を基準にして組み分けを区別する。ある人１が入っている組を１組とし、ある人２が入っている組を２組とし、ある人３が入っている組を３組とし、ある人４が入っている組を４組とする。その各組の成員が同じ人であれば同じ組み分けであるとする。成員が異なれば異なる組み分けであるとする。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上、Ｄ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、４・３・２＝４！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人、C組１人以上、Ｄ組１人以上の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、４・３＝１２の組分けができるだけである。なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組ならば、組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことである。
（４）また、A組０人B組０人、C組０人、Ｄ組１人以上の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、４つの組分けができるだけである。なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組と０人のC組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことだからである。
（５）そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく４つの組に分ける組み合わせの数は、以下の手順で求める。
（５－１）先ず、（４）の場合の、（組の区別が無く）１組にのみ全員を入れる組分けの数Ｃ１を求める。
（５－２）次に、（３）の場合の、（組の区別が無く）２組にのみ(各組に１人以上入れて)全員を入れる組分けの数Ｃ２を求める。
（５－３）次に、9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに区別した４つの組に分ける組み合わせの数から、Ｃ１・４を引き算し、更に、Ｃ２・４・３を引き算する。その値を４！で割り算して組の区別を無くした数に、Ｃ１とＣ２を足し算する。その値が、求めるべき、（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせの数である。
Ｃ１＝１組である。
Ｃ２は、問２の解で得られている。
よって、以下の数で計算できる。
（解答おわり）
【考察】《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
以下で、問５の解答の考え方を（人数を変えて）検算します。
▷人数が２人の場合は：
この答えは合っている。
▷人数が３人の場合は：
この答えは合っている。
▷人数が４人の場合は：
この答えも合っている。
なお、組名が区別されている組分けの数には、以下の数学的構造がある。
リンク：
高校数学の目次
