ベン図問題は樹形図で解くべし

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【問１】
　集合Ａ，Ｂ，Ｃがある。
ｎ（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝９９
ｎ（Ａ）＝６５
ｎ（Ｂ）＝４０
ｎ（Ａ∩Ｂ）＝１４
ｎ（Ｃ∩Ａ）＝１１
ｎ（Ｂ∪Ｃ）＝５５
ｎ（Ｃ∪Ａ）＝７８
のとき

（１）　ｎ（Ｃ）はいくつか。
（２）　ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）はいくつか。
（問題おわり）

【解答】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。

　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑥⑦⑧⑨⑩・・・の順に数字を埋めていく。

⑥=①-55,
⑦=①-78,
⑧=①-②,
⑨=④-③,
⑩=⑧-⑨,
⑪=②-③,
⑫=⑧-⑦,
⑬=⑫+⑤,
⑭=⑨-⑦,
⑮=⑪-⑥,
⑯=⑤-⑮,
⑰=③-⑯,

その結果、
ｎ（Ｃ）＝２４
ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝４
がわかった。
（解答おわり）

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樹形図で解く分類の分析問題（ベン図問題）（２）

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【問１】
100名の生徒に以下のようなアンケートを行いました。 【カレーライスとハンバーグとスパゲティのどれがすきですか？ 好きなものを選びなさい。】 結果は：
○カレーライスが好きな人は52名。
○スパゲティが好きな人は63名。
○ハンバーグが好きな人は40名。
○カレーライスとハンバーグの両方が好きな人は20名。ただしこの中にはスパゲティが好きな人も含まれる。
○スパゲティとハンバーグの両方が好きな人は40名。ただしこの中にはカレーライスを好きな人も含まれる。
○スパゲティとカレーライスの両方だけが好きな生徒と３つともすきで無い生徒の合計は15名。
　以下の問いに答えよ。
カレーライスだけが好きな生徒ｘ名、
スパゲティだけが好きな生徒ｙ名
を求めなさい。
（問題おわり）

【解１】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。

　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に数字を埋めていく。 ｘ＝ｂ，ｙ＝ｃ，である。


その結果、
ｘ＝ｂ＝２７
ｙ＝ｃ＝１８
がわかった。
（解１おわり）

【解２】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。

　以下の樹形図を描く。
樹形図で、
未知数の係数が１の場合は〇印であらわし、
未知数の係数が－１の場合は△印であらわし、
未知数の係数が２の場合は２重円であらわして、
連立方程式の計算途中の方程式を記述する。
　そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に計算して数字を埋めていく。

⑩=④-⑥,
⑪←⑩,
⑫←⑩,

⑮=②-⑤,

⑰=⑧-⑦,
⑱=③-⑬-⑭,
⑲=⑰-⑮,
⑳=⑲+⑱,
㉑=⑳/2,
㉒=⑰-㉑,

そのように、方程式の変形を縦線であらわして計算した結果、
ｘ＝２７
ｙ＝１８
がわかった。
（解２おわり）

【解３】
　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に計算して数字を埋めていく。

⑩=④-⑥,
⑪←⑩,
⑫←⑩,

⑮=②-⑤,

⑰=③-⑬-⑭,
⑱=⑮-⑰,
⑲=⑧-⑦-⑱,
⑳=⑲/2,
㉑=⑱+⑳,

そのように、方程式の変形を縦線であらわして計算した結果、
ｘ＝２７
ｙ＝１８
がわかった。
（解３おわり）

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