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【問１】
黒玉●４個と白玉〇４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、黒玉●同士を区別せず、白玉〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が４＋４＝８つある。
８つの席を固定した場合の、玉●４つと残りの玉〇４つを並べる組み合わせの数は、
８Ｃ４＝８×７×６×５／（４×３×２）＝７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。
固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）
１／４回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／４回転した位置にもあり、(2/4)回転した位置にもあり、(3/4)回転した位置にあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が十字架状に４個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が十字架状の形にある配置パターンである。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／４の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／４回転するまでに、0回転、(1/8)回転した場合の２つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１の２分の１になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）
１／２回転すると元の形に戻る第２のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／２回転した位置に存在する配置パターンになり、すなわち、黒玉●が円の直径の両端に２個ある配置パターンになる。
第２のタイプの配置パターンは、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。そのため、第２のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／２の４つの玉の並べ方の数で計算する。その数は、４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置の数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて元の配置パターンに戻る（席が固定された場合の）配置の数が求められる。その数は：
４Ｃ２－１×２＝４
個ある。
この（引き算した結果の）配置のパターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転の４つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数の４分の１になる。その数は：
４／４＝１
個ある。
（第３のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））
１回転して元の形になる配置パターン（全ての配置パターン）には、第１のタイプと第２のタイプの配置が含まれる。
第３のタイプの配置パターン（全配置パターン）の、席が固定された場合の配置の数は、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプと第２のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る（席を固定した場合の）配置の数を求める。その数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個ある。
この（引き算した結果の）配置パターンは、（席を固定した場合の）配置を回転させると、１回転すると初めて元の形に戻る。回転させる毎に形が変わる数は、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転、の８個の異なる形になる。
席を固定しない場合の、この（引き算した結果の）配置のパターンの数は：
６４／８＝８
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、円順列の配置パターンの数は：
１＋１＋８＝１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
【問２】
黒玉●８個と白玉〇８個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、●同士を区別せず、〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が８＋８＝１６個ある。
１６個の席を固定した場合の、黒玉●８つと残りの白玉〇８つを並べる組み合わせの数は、
16Ｃ8＝１３×１１×１０×９＝１２８７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。 固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／８回転すると元の形に戻る配置）
１／８回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／８回転毎に繰り返して現れ、合計８個の黒玉●から構成される配置パターンがパターンの１つの要素になる。各色の玉毎にこのパターンになる配置パターンが第１のタイプの配置の形である。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の８分の１の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、その１周期である、円順列の円の１／８の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、席を固定した場合の配置が、0回転、(1/16)回転、した場合に２つの異なる形になる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１の２分の１になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）
１／４回転して元の形に戻る第２の配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／４回転毎に繰り返して現れ、合計４個の黒玉●が十字架状に存在する形が配置パターンの１つの要素になる。黒玉の十字架と白玉の十字架を組み合わせた配置が第２のタイプの配置パターンの形である。
第２のタイプの配置パターンには、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第２のタイプの配置パターンの、席が固定された場合の配置パターンの数は、円順列の円の４分の１の４個の玉で構成される部分の、４つの玉の並べ方の数で計算でき、４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算して、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの配置の数を求めると：
４Ｃ２－１×２＝４
個の配置パターンの数がある。これは、席が固定された場合の配置パターンの数である。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置パターンを回転させると、４分の１回転するまで元にもどらず形が変わる。形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、の場合の４つの異なる形になる。
そのため、席を固定しない場合の、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は：
４／４＝１
個だけある。
（第３のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）
１／２回転して同じ形の配置になる第３の配置パターンには、第１のタイプの配置パターンと、第２のタイプの配置パターンとを含む。
第３のタイプの配置パターンは、配置パターンの１／２回転が配置パターンの形が変わる１周期である。そのため、第３のタイプの配置パターンは、席が固定された場合の配置の数は、円順列の１／２回転の範囲内の右半分の８つの玉の並べ方の数で計算でき、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数と第２のタイプの配置パターンの数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて同じ形に戻る配置パターンの数が求められる。その数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個の配置の数がある。
この（引き算した結果の）配置のパターンの、配置を回転させると変わる形の数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、(7/16)回転、の８つある。
そのため、席を固定しない場合の、１／２回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数６４を、回転で変わる形の数８で割り算した数になり：
６４／８＝８
個だけある。
（第４のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））
１回転して同じ形の配置になる（全ての配置の）配置パターンには、第１のタイプの配置と、第２のタイプの配置と、第３のタイプの配置とを含む。
席が固定された場合の、全ての配置パターンの数は１６Ｃ８個＝１３×１１×１０×９＝１２８７０個ある。
この数から、第１の配置パターンの数と第２の配置パターンの数と第３の配置パターンの数を引き算する。その数は、１回転するまで元の形には戻らない配置パターンの数である。その数は：
１６Ｃ８－（８×８）－（１×４）－（１×２）＝１２８００
個ある。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置を回転させると、１回転するまでは元にもどらない。回転することで配置パターンの形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、・・・(15/16)回転、の１６個ある。
そのため、席を固定しない場合の配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数１２８００を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１２８００／１６＝８００
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の、席を固定しない場合の、円順列の配置の数の総和は：
１＋１＋８＋８００＝８１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
《検算方法》
問２の解の数が大きいので、答えが合っているのかの検算が悩ましいところである。計算を整理して解き方のパターンの規則性があることが、検算の第１段階になるとも思いますが。問２の解の検算方法は、近似的に、配置パターンの大部分が、１回転して初めて元のパターンに戻る配置パターンである、と仮定して概算して検算する。
席を固定しない場合の配置の数の概算は、席を固定した場合の全配置パターンの数１６Ｃ８を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１６Ｃ８／１６＝１３×１１×１０×９／１６
＝１２８７０／１６
≒ ８００
個程度ある。
（検算おわり）
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
【問１】
黒玉●４個と白玉〇４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、黒玉●同士を区別せず、白玉〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が４＋４＝８つある。
８つの席を固定した場合の、玉●４つと残りの玉〇４つを並べる組み合わせの数は、
８Ｃ４＝８×７×６×５／（４×３×２）＝７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。
固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）
１／４回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／４回転した位置にもあり、(2/4)回転した位置にもあり、(3/4)回転した位置にあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が十字架状に４個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が十字架状の形にある配置パターンである。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／４の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／４回転するまでに、0回転、(1/8)回転した場合の２つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１の２分の１になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）
１／２回転すると元の形に戻る第２のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／２回転した位置に存在する配置パターンになり、すなわち、黒玉●が円の直径の両端に２個ある配置パターンになる。
第２のタイプの配置パターンは、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。そのため、第２のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／２の４つの玉の並べ方の数で計算する。その数は、４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置の数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて元の配置パターンに戻る（席が固定された場合の）配置の数が求められる。その数は：
４Ｃ２－１×２＝４
個ある。
この（引き算した結果の）配置のパターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転の４つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数の４分の１になる。その数は：
４／４＝１
個ある。
（第３のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））
１回転して元の形になる配置パターン（全ての配置パターン）には、第１のタイプと第２のタイプの配置が含まれる。
第３のタイプの配置パターン（全配置パターン）の、席が固定された場合の配置の数は、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプと第２のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る（席を固定した場合の）配置の数を求める。その数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個ある。
この（引き算した結果の）配置パターンは、（席を固定した場合の）配置を回転させると、１回転すると初めて元の形に戻る。回転させる毎に形が変わる数は、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転、の８個の異なる形になる。
席を固定しない場合の、この（引き算した結果の）配置のパターンの数は：
６４／８＝８
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、円順列の配置パターンの数は：
１＋１＋８＝１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
【問２】
黒玉●８個と白玉〇８個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、●同士を区別せず、〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が８＋８＝１６個ある。
１６個の席を固定した場合の、黒玉●８つと残りの白玉〇８つを並べる組み合わせの数は、
16Ｃ8＝１３×１１×１０×９＝１２８７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。 固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／８回転すると元の形に戻る配置）
１／８回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／８回転毎に繰り返して現れ、合計８個の黒玉●から構成される配置パターンがパターンの１つの要素になる。各色の玉毎にこのパターンになる配置パターンが第１のタイプの配置の形である。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の８分の１の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、その１周期である、円順列の円の１／８の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、席を固定した場合の配置が、0回転、(1/16)回転、した場合に２つの異なる形になる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１の２分の１になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）
１／４回転して元の形に戻る第２の配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／４回転毎に繰り返して現れ、合計４個の黒玉●が十字架状に存在する形が配置パターンの１つの要素になる。黒玉の十字架と白玉の十字架を組み合わせた配置が第２のタイプの配置パターンの形である。
第２のタイプの配置パターンには、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第２のタイプの配置パターンの、席が固定された場合の配置パターンの数は、円順列の円の４分の１の４個の玉で構成される部分の、４つの玉の並べ方の数で計算でき、４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算して、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの配置の数を求めると：
４Ｃ２－１×２＝４
個の配置パターンの数がある。これは、席が固定された場合の配置パターンの数である。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置パターンを回転させると、４分の１回転するまで元にもどらず形が変わる。形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、の場合の４つの異なる形になる。
そのため、席を固定しない場合の、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は：
４／４＝１
個だけある。
（第３のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）
１／２回転して同じ形の配置になる第３の配置パターンには、第１のタイプの配置パターンと、第２のタイプの配置パターンとを含む。
第３のタイプの配置パターンは、配置パターンの１／２回転が配置パターンの形が変わる１周期である。そのため、第３のタイプの配置パターンは、席が固定された場合の配置の数は、円順列の１／２回転の範囲内の右半分の８つの玉の並べ方の数で計算でき、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数と第２のタイプの配置パターンの数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて同じ形に戻る配置パターンの数が求められる。その数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個の配置の数がある。
この（引き算した結果の）配置のパターンの、配置を回転させると変わる形の数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、(7/16)回転、の８つある。
そのため、席を固定しない場合の、１／２回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数６４を、回転で変わる形の数８で割り算した数になり：
６４／８＝８
個だけある。
（第４のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））
１回転して同じ形の配置になる（全ての配置の）配置パターンには、第１のタイプの配置と、第２のタイプの配置と、第３のタイプの配置とを含む。
席が固定された場合の、全ての配置パターンの数は１６Ｃ８個＝１３×１１×１０×９＝１２８７０個ある。
この数から、第１の配置パターンの数と第２の配置パターンの数と第３の配置パターンの数を引き算する。その数は、１回転するまで元の形には戻らない配置パターンの数である。その数は：
１６Ｃ８－（８×８）－（１×４）－（１×２）＝１２８００
個ある。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置を回転させると、１回転するまでは元にもどらない。回転することで配置パターンの形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、・・・(15/16)回転、の１６個ある。
そのため、席を固定しない場合の配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数１２８００を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１２８００／１６＝８００
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の、席を固定しない場合の、円順列の配置の数の総和は：
１＋１＋８＋８００＝８１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
《検算方法》
問２の解の数が大きいので、答えが合っているのかの検算が悩ましいところである。計算を整理して解き方のパターンの規則性があることが、検算の第１段階になるとも思いますが。問２の解の検算方法は、近似的に、配置パターンの大部分が、１回転して初めて元のパターンに戻る配置パターンである、と仮定して概算して検算する。
席を固定しない場合の配置の数の概算は、席を固定した場合の全配置パターンの数１６Ｃ８を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１６Ｃ８／１６＝１３×１１×１０×９／１６
＝１２８７０／１６
≒ ８００
個程度ある。
（検算おわり）
場合の数と確率
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