因数分解のたすき掛けの解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問３Ａ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
　下図のように、①ｘの２乗の項の係数８の約数に素数２がある。②また、その素数２は、ｘの１乗の項の係数（ー１４）の約数でもある。

　この場合は、元の式(1)を、素数２をｓで置き換えた上図の式(2)に変形する。（式(1)がたすき掛けで因数分解できるときは、ｘの２乗の項の係数は、必ず素数２＝ｓの２乗で割り切れる）。その式(2)の係数の積Ｔと、式(2)の目標値（－７）に関して、項３と、項４を以下のように求めて式(2)を因数分解する。

　その式(2)の因数分解の結果の素数ｓを２に戻すことで、下図のように、式(1)の因数分解結果を得る。

ｆ＝（２ｘー５）（４ｘ＋３）
と因数分解できた。
　
【問３Ｂ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
（解答の方針）
　最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の５にするのが目標。
　すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項２との積(３×２＝６)を計算する。

（第１の処理）
　その積(６)を、＝(３)×(２)という２つの項の積に分割して、その２つの項を足して、ｘの１乗の係数（５）になる、２つの項への分割を求める。
３＋２＝５
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。


【問３Ｃ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】同様にして、以下のように計算する。
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項（－２）との積(３×（－２）＝－６)を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－５）にするのが目標。
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみあわせてたすき掛けして因数分解する。


【問４Ｂ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
（解答の方針）
　最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓを計算する。次に、その積Ｓの値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の５にするのが目標。
　すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１８と、定数項（ー４８）との積Ｓを計算する。

（第１の処理）
　その積Ｓを、項１と項２との積に分割する。
Ｓ＝（項１）×（項２）
その２つの項を足して、ｘの１乗の係数（５）にするのが目標である。
（項１）＋（項２）＝５

（第２の処理）
　次に、以下のように（コツ１）を使って、積Ｓの分割の方針を立てる。
(１) 積Ｓの約数に２が存在する。
その約数２はｘの１乗の係数（５）の約数ではない。
そのため、項２が２の倍数ならば、項１は２の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の

は、分割し得ない１組にする。

(２) 積Ｓの約数に３が存在する。
その約数３はｘの１乗の係数（５）の約数ではない。
そのため、項１が３の倍数ならば、項２は３の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の

は、分割し得ない１組にする。
積Ｓを分割し得る約数の積であらわすと、
Ｓ＝３２×２７である。
この積Ｓの、分割し得る数３２と２７のうちのいくつかの数の積を項１にし、残りの数の積を項２にする。
そうして、
項１＋項２＝５
にする。
そのようにできる、Ｓの分割は、
Ｓ＝（ー２７）×（３２）
である。
項１＝－２７
項２＝３２
項１＋項２＝５
になった。

（第３の処理）
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてその項１と項２の値になるように、たすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(９ｘ＋１６)(２ｘ－３)，
に因数分解できた。

【問４Ｃ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１と、定数項（－（ｙ＋２）（２ｙ＋３））との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－ｙ－１）にするのが目標。

　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(ｘ＋ｙ＋２)(ｘ－２ｙ－３)，
に因数分解できた。

【問４Ｄ】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解答】
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３と、定数項（－（ｙ＋２）（２ｙ＋３））との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－ｙ－３）にするのが目標。

　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(３ｘ＋２ｙ＋３)(ｘ－ｙ－２)，
に因数分解できた。

【問８】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解１】
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－４）にするのが目標。

▷目標の（－４）が２の倍数なので、積に分解した２つの項の和が２の倍数の目標になるには、片方の項が２の倍数ならば、残りの項も２の倍数になる。
　そうなる２つの項の組合せは、２と（－３０）、６と（－１０）、の２組しかない。そのうち、２つの項の和がちょうど（－４）になるのは、６と（－１０）の場合である。
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝(６ｘ－５)(２ｘ＋１)
に因数分解できた。

【解２】たすき掛けしないで自動的に計算する
　最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を計算する。
次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－４）にするのが目標。

　この２つの項が求められたので、以下のように、２つの項に係るｘの１乗の項を２つに分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

【問９】
　以下の２次関数を因数分解せよ。


【解１】
　最初に、下図のように、ｘに関する定数項（3(y-1)(y-2)）と、
ｘの２乗の項の係数の（２）との積（６(y-1)(y-2)）を計算する。
そして、その数を、２つの数の積に分解する。
その２つの数の和が、
（目標にする）、ｘの１次の項の係数（５ｙ－８）
になるようにする。

その２つの数は、
2(y-1)=2y-2と、
3(y-2)=3y-6と
が良い。
　この２つの項が求められたので、以下のように数をかみ合わせてたすき掛けして因数分解する。

こうして、
ｆ＝（２ｘ＋３（ｙ－２））（ｘ＋ｙ－１）
に因数分解できた。

【解２】たすき掛けしないで自動的に計算する
　最初に、下図のように、ｘに関する定数項（3(y-1)(y-2)）と、
ｘの２乗の項の係数の（２）との積（６(y-1)(y-2)）を計算する。
そして、その数を、２つの数の積に分解する。
その２つの数の和が、
（目標にする）、ｘの１次の項の係数（５ｙ－８）
になるようにする。

その２つの数は、
2(y-1)=2y-2と、
3(y-2)=3y-6と
が良い。
　この２つの項が求められたので、以下のように、２つの項に係るｘの１乗の項を２つに分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

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円と放物線の接線（２）重解の判別式の意味

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

《「微分・積分」の勉強》
　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。


《以下で、この問題の３つの解答を示す》
【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）

（解答１の解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

【解答１】
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、 
式１から、
放物線　ｙ＝ｘ^２＋ｈ　　（式１’）
式２から、
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２’） 

（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ　（式３）
である。
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４）
である。

（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
式３＝式４：

この式５を解くと、
ｘ＝０　（式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－１／２
ｙ＝１／２　（式７）
 
（５）
（式６の場合の接点を求める）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）^２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
 
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）
 
（５－１）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
（５－２）
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
（５－３）
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（以上が、第１の種類の接点）

（６）
（式７の場合の接点を求める）
式７（ｙ＝１／２）を式４に代入する。

式１より

接点は、

このとき、

（以上が第２の種類の接点）
（解答１おわり）

【解答２】
　この問題を微分を使わないで、図形の交点が接点となる場合に重解になる事を利用して解く場合は、以下のように面倒くさい解き方になります。

 この方程式で、以下の式３の置き換えをして解く。

この式４から、以下の式５と式６を得て、式６からｘの式を得る。

この解を、以下の様にグラフで表す。

ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。

この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて考察すると、２つのグラフが接することになる条件は、以下の３つである。 

これら、各場合を、以下の様にして解く。

 

 この式は、重解となる条件をあらわすので、重解の判別式であると解釈できる。
この判別式は、等価な以下の連立方程式８－１と８－１ｂに変形できる。

 式８－１ｂを以下の式に変形する。

これが、場合１の解である。

これが、場合２の解である。

これが、場合３の解である。
（解答２おわり）

【解答３】
　以下のように、図で考えて図から答えを得て計算すると簡単に解ける。 


式(1)と式(2)は、この式(4)と式(2)の連立方程式に変換された。（（注意）ｙだけで表される式(4)だけでは、どのようにしても、ｘ軸に平行な傾きで曲線が接する接点を求めることはできない。元の式(1)と式(2)のグラフを、ｙ軸を基準にして見ると、ｙ軸を基準にして傾きが無限大になる接線（ｘ軸に平行な直線）は、ｙの関数として表すことができない。それが、ｙだけの式(4)からｘ軸に平行な傾きの曲線の接点が求められない原因である）。

　式(4)と式(2)の関係を、以下の図であらわす。 

ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。

この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
　この事をふまえて、式４と式２の関係を考察する。
式１と式２の２つのグラフが接することになる条件は、式４と式２の２つのグラフの４つの交点のうちの２つが重なって重解になる条件と同じである。
各場合の、重解になる条件をあらわす式が、その各場合の重解の判別式である。
重解になる条件は、以下の３つの場合がある。 

これら、各場合を、以下の様にして解く。

これが、場合１の解である。

これが、場合２の解である。

これが、場合３の解である。
（解答３おわり）

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