円と放物線の接点を求める問題（２）

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。

【解答】
　先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。

図から、接点は、ｙ＝－１の点とｙ＝１の点と、それ以外にｙ座標が－１／２程度の２つの点との合計４点あると、見通しを立てます。
（それをそのまま解答にしても良い）

接点を求める問題は、微分で接点の条件を与える方程式を作ることが計算を少なくできるコツです。

そのため、以下で、微分を利用して接点の条件を与える方程式を作ります。

これにより：
この式５ｂと先の２つのグラフの式２つとの、２変数の３つの式を連立させて、ｋを求める問題に変換できました。

式５ｂから、以下の式６が得られます。

以下で、この式の２つの場合に分けて、解を求めます。

 これにより、以下の第１の解の群が得られた。

次に、式６のもう１つの場合の解を求めます。

これにより、以下の第２の解の群が得られた。

よって、式１のグラフと式２のグラフが接するようにするｋの値は、

ｋ＝±１，　－５／４
の３つです。
（解答おわり）

（補足）
　式６ｂの場合の第２の解の群は、微分を用いないでも、以下の様にして接点が２重解を持つ条件から導くことができます。
（１）＋（２）：

この２次方程式は、
ｋ＝－５／４
の場合に２重解を持ちます。
　しかし、その２重解が接点をあらわすことはあまり明確ではありません。
また、この２次方程式にこだわると、
式６ａの場合の接点の第１の解の群を見落とす恐れがあります。
　そのため、接点を求める計算では、
微分を利用した接点の条件の式５ｂを使って、式６ａと式６ｂを導き出す明確な計算によって接点を計算する方が望ましいです。 

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点Pから引いた放物線の接線の接点AとＢの中点のｘ座標は点Pと同じ

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。


【解答】
　ｙ座標を拡大縮小した図形においても、問題の本質が変わらない。
そのため、ｙ座標を以下の図の式でＹ座標に変換して問題を解く。

放物線のグラフの関数をｆ(x) とあらわす。

この式(3)と式(4)を連立して、P点を通る直線と放物線の交点の座標（ｘ，Ｙ）を求める。
　ここで、Ｐ点を通る直線の傾きｋが放物線の交点での放物線のグラフの傾きｆ’(x) と等しくなれば、その交点は、放物線と直線との接点になる。その条件を以下の式(5)で導入して計算する。


この接線の傾きｋを与える式の中に現れた式：

の根号の中が０以上でなければ、接線の傾きｋの解が無く、接点ＡおよびＢの解が無い。この式の根号の中が０以上であることが、点Ｐから放物線に接線を引くことができる条件である。
　以上で得られた傾きｋの式に式(6)を代入して接点ＡとＢのｘ座標を求める。

　以上の式(8)と(9)とで、接点ＡとＢのｘ座標が求められた。次に、接点ＡとＢのＹ座標を求める。

次に、点Ａと点Ｂの中点Ｒの座標を求める。

式(12)により、点Ｒのｘ座標が点Ｐのｘ座標と同じであることが示された。
次に、点Ｐの真上の点Ｑまでの高さPQ＝ｇを求める。

式(17)により、式(2)の関係が成り立っている。
このため、グラフをＹ方向に拡大縮小して座標系をy座標に戻せば、式(1)が成り立っている。
（解答おわり）

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やさしい微分積分
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