点Pから引いた放物線の接線の接点AとＢの中点のｘ座標は点Pと同じ

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。


【解答】
　ｙ座標を拡大縮小した図形においても、問題の本質が変わらない。
そのため、ｙ座標を以下の図の式でＹ座標に変換して問題を解く。

放物線のグラフの関数をｆ(x) とあらわす。

この式(3)と式(4)を連立して、P点を通る直線と放物線の交点の座標（ｘ，Ｙ）を求める。
　ここで、Ｐ点を通る直線の傾きｋが放物線の交点での放物線のグラフの傾きｆ’(x) と等しくなれば、その交点は、放物線と直線との接点になる。その条件を以下の式(5)で導入して計算する。


この接線の傾きｋを与える式の中に現れた式：

の根号の中が０以上でなければ、接線の傾きｋの解が無く、接点ＡおよびＢの解が無い。この式の根号の中が０以上であることが、点Ｐから放物線に接線を引くことができる条件である。
　以上で得られた傾きｋの式に式(6)を代入して接点ＡとＢのｘ座標を求める。

　以上の式(8)と(9)とで、接点ＡとＢのｘ座標が求められた。次に、接点ＡとＢのＹ座標を求める。

次に、点Ａと点Ｂの中点Ｒの座標を求める。

式(12)により、点Ｒのｘ座標が点Ｐのｘ座標と同じであることが示された。
次に、点Ｐの真上の点Ｑまでの高さPQ＝ｇを求める。

式(17)により、式(2)の関係が成り立っている。
このため、グラフをＹ方向に拡大縮小して座標系をy座標に戻せば、式(1)が成り立っている。
（解答おわり）

リンク：
やさしい微分積分
高校数学の目次