三角形の三角関数の公式

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｓｉｎ(Ｃ)

【証明開始】
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)
＝ｓｉｎ(π－Ｃ)
＝－ｓｉｎ(－Ｃ)
＝ｓｉｎ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問２】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)＝－ｃｏｓ(Ｃ)

【証明開始】
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)
＝ｃｏｓ(π－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問３】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ

【証明開始】
ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ－Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（π／２）－Ｃ）
＝ｃｏｓＣ
（証明おわり）
 他の式の証明も同様である。

【問４】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎ（２Ｃ）
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝ｓｉｎ（２Ａ）
ｓｉｎ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎ（２Ｂ）

【証明開始】
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（π－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

【問５】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝－ｃｏｓ（２Ａ）
ｃｏｓ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝－ｃｏｓ（２Ｂ）

【証明開始】
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｃｏｓ（π－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

上の公式を直ぐに導き出せるようにしておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

【問６】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(cosＡ-cosＢ)sinＣ＝sinＢ-sinＡ+sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ａ-Ｃ),

【証明開始】
2(cosＡ-cosＢ)sinＣ
＝2cosＡsinＣ－2cosＢsinＣ
＝sin(Ａ+Ｃ)-sin(Ａ-Ｃ)+sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ｂ+Ｃ)
＝sinＢ-sin(Ａ-Ｃ)+sin(Ｂ-Ｃ)-sinＡ
＝sinＢ-sinＡ+sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ａ-Ｃ),
（証明おわり）

【問７】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(cosＡ-cosＢ)cosＣ＝cosＡ-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),

【証明開始】
2(cosＡ-cosＢ)cosＣ
＝2cosＡcosＣ－2cosＢcosＣ
＝cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)-cos(Ｂ+Ｃ)
＝-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)+cosＡ
＝cosＡ-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),
（証明おわり）

【問８】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(sinＡ-sinＢ)cosＣ＝sinＢ-sinＡ+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ),

【証明開始】
2(sinＡ-sinＢ)cosＣ
＝2sinＡcosＣ－2sinＢcosＣ
＝sin(Ａ+Ｃ)+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ｂ+Ｃ)
＝sinＢ+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ)-sinＡ
＝sinＢ-sinＡ+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ),
（証明おわり）

【問９】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(sinＡ-sinＢ)sinＣ＝cosＢ-cosＡ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),

【証明開始】
2(sinＡ-sinＢ)sinＣ
＝2sinＡsinＣ－2sinＢsinＣ
＝-cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)+cos(Ｂ+Ｃ)
＝cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)-cosＡ
＝cosＢ-cosＡ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),
（証明おわり）

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