勉強しよう数学解答集: 三角形の三角関数の公式

《重要な計算公式》
cosの三角関数を半角の三角関数の積に変換する場合に、

上記の２つの式のどれかを使って半角の三角関数の積に変換すべし。

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｓｉｎ(Ｃ)

【証明開始】
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)
＝ｓｉｎ(π－Ｃ)
＝－ｓｉｎ(－Ｃ)
＝ｓｉｎ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問２】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)＝－ｃｏｓ(Ｃ)

【証明開始】
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)
＝ｃｏｓ(π－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問３】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ

【証明開始】
ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ－Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（π／２）－Ｃ）
＝ｃｏｓＣ
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

【問４】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎ（２Ｃ）
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝ｓｉｎ（２Ａ）
ｓｉｎ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎ（２Ｂ）

【証明開始】
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（π－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

【問５】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝－ｃｏｓ（２Ａ）
ｃｏｓ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝－ｃｏｓ（２Ｂ）

【証明開始】
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｃｏｓ（π－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

上の公式を直ぐに導き出せるようにしておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

【問６】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
2cosＡsinＣ＝sinＢ＋sin(Ｃ-Ａ),

【証明開始】
2cosＡsinＣ
＝sin(Ａ+Ｃ)＋sin(Ｃ-Ａ)
＝sinＢ＋sin(Ｃ-Ａ),
（証明おわり）

【問７】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
2cosＡcosＣ＝-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),

【証明開始】
2cosＡcosＣ
＝cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ
＝-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),
（証明おわり）

【問９】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
2sinＡsinＣ＝cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),

【証明開始】
2sinＡsinＣ
＝-cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ)
＝cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),
（証明おわり）

【問１０】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。