２直線の交点の軌跡

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　実数ａがａ≧０の範囲で変化するとき、ｘｙ平面上での２直線

の交点の軌跡を求め、図示せよ。

【解１】
ｘ≠０　の場合、(2)より、

(4)を(1)に代入する。

両辺にｘを掛け算する。

次に、この式(5)の円の方程式の範囲を、式(3)を満足する範囲に制限する。
式(2)は点Ｂ(0,1) を通る直線をあらわし、その直線の傾きは、以下の式(6)であらわさせる。式(3)に従って、その傾きの範囲が式(6)の不等号で制限される。その傾きの制限が式(5)の円の方程式の範囲を制限する。


上図のように、軌跡上の点Ｐ(x,y) と点Ｂとを結ぶ直線の傾きが式(6)で制限されるので、結局、点Ｐ(x,y) のｘ座標とｙ座標が以下の式(7)(8)で制限される。

そのため、求める軌跡は上図の円の実線の部分になる。
（解１おわり）

【解２】

　式(1)の直線の式は、下図の点Ａ(1,0) を通る直線(11)の式に変形できる。直線(11)は、傾きが（１／ａ）の直線である。ａ＝０のときは、ｙ軸に平行な直線になる。
　式(2)の直線の式は、下図の点Ｂ(0,1) を通る直線(12)の式に変形できる。直線(12)は、傾きが（－ａ）の直線である。ａ＝０のときは、ｘ軸に平行な直線になる。


　軌跡上の点を点Ｐ(x,y) とする。式(11)であらわす直線ＡＰの傾き(1/a) と、式(12)であらわす直線ＢＰの傾き(-a)の積が（－１）になるので、直線ＡＰと直線ＢＰは直交し、
∠ＡＰＢ＝９０°
になる。
そのため軌跡上の点Ｐは、線分ＡＢを直径とする円上の点になる。
ａ＝０の場合に、点Ｐは点Ｃ(1,1) になる。
a＞０の場合に、
（直線ＢＰの傾き）＜０
なので、点Ｐは、ａ（≧０）が大きくなるにつれて、上図の円の点Ｃから右回りに原点Ｏ(0,0) まで向かう。点Ｐは原点Ｏの近傍まで近づき、原点Ｏには達さない。
結局、点Ｐのｘ座標値とｙ座標値に関して、以下の式(7)と(8)が成り立つ。

求める軌跡は上図の円の実線の部分になる。
（解２おわり）

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