軌跡の点の情報の命題を同値変形して解く技術

以下は、ここをクリックした先の問題の解２である。

【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。

【解２の方針】
　交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）を与える式は、２直線を与える式をそのまま使うことができる。
ｍＸ－Ｙ＋５ｍ＝０　（式１）
Ｘ＋ｍＹ－５＝０　　（式２）
ここで、この式を連立してｍを消去すれば、ＸとＹの式が得られるが、
そのように、ｍを消去する計算によって、ｍが存在することが保証された条件下で点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の可能な全ての集合が求められるのか、という懸念がある。
　そのため、この懸念が解消される論拠を明確にしつつ、以下のように問題を解く。

【解２の開始】
　以下のようにして、（式２）から、ｍを点（Ｘ，Ｙ）の座標であらわす式を求める。

(6) Y≠0 , の場合には、(7)式によってＸとＹからｍが求められる。そして、ＸとＹの間には、(6)の制約条件以外には、式(8)による制約条件が与えられる。
　ここで、式(6)(8)の制約条件を満足するすべての点(X,Y) は、式(7)によってｍの値の解を与えるので、(X,Y,m)の解がある。
　一方で、(3)(4)(5)が与えた(X,Y,m)＝(5,0,0)も解である。
式(8)は、以下の式に同値変形できる。

よって、求める点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡は、
Ｙ＝０の場合は、Ｘ＝５となる点のみが解であり、
Ｙ≠０の場合は、式(9)であらわされる円上の（Ｙ≠０である）全ての点の集合になる。
点Ｐの軌跡は、以下の図であらわした、点（-5,0）を除く、円上の点になる。

（解２おわり）

《補足》
　方程式の群を同値変形して、以下の形の方程式の群が得られた場合は、その軌跡の式(a1) を満足する全ての点(X,Y) が、方程式群の全ての解(X,Y,m) を与える。

詳しくは、以下の内容である。すなわち、方程式の群の同値変形によって；①、パラメータｍが点(X,Y) の解として与えられる方程式(a2) が求められた。また、②、ＸとＹとの軌跡の方程式(a1) が求められた。①と②が得られたならば、軌跡の方程式(a1) を満たす全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。という公式が成り立つ。
　この公式は、「①と②が得られたならば、パラメータｍを消して全ての点が解となる軌跡の式(a1) が求められる」という、（消さなくても良い）「パラメータｍを消す」という回りくどい言い方をする「存在条件の代入原理」よりも分かりやすいと思う。

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同値変形の考え方
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