三角形の三角関数の公式

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｓｉｎ(Ｃ)

【証明開始】
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)
＝ｓｉｎ(π－Ｃ)
＝－ｓｉｎ(－Ｃ)
＝ｓｉｎ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問２】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)＝－ｃｏｓ(Ｃ)

【証明開始】
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)
＝ｃｏｓ(π－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問３】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ

【証明開始】
ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ－Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（π／２）－Ｃ）
＝ｃｏｓＣ
（証明おわり）
 他の式の証明も同様である。

【問４】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎ（２Ｃ）
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝ｓｉｎ（２Ａ）
ｓｉｎ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎ（２Ｂ）

【証明開始】
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（π－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

【問５】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝－ｃｏｓ（２Ａ）
ｃｏｓ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝－ｃｏｓ（２Ｂ）

【証明開始】
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｃｏｓ（π－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

上の公式を直ぐに導き出せるようにしておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

【問６】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(cosＡ-cosＢ)sinＣ＝sinＢ-sinＡ+sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ａ-Ｃ),

【証明開始】
2(cosＡ-cosＢ)sinＣ
＝2cosＡsinＣ－2cosＢsinＣ
＝sin(Ａ+Ｃ)-sin(Ａ-Ｃ)+sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ｂ+Ｃ)
＝sinＢ-sin(Ａ-Ｃ)+sin(Ｂ-Ｃ)-sinＡ
＝sinＢ-sinＡ+sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ａ-Ｃ),
（証明おわり）

【問７】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(cosＡ-cosＢ)cosＣ＝cosＡ-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),

【証明開始】
2(cosＡ-cosＢ)cosＣ
＝2cosＡcosＣ－2cosＢcosＣ
＝cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)-cos(Ｂ+Ｃ)
＝-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)+cosＡ
＝cosＡ-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),
（証明おわり）

【問８】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(sinＡ-sinＢ)cosＣ＝sinＢ-sinＡ+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ),

【証明開始】
2(sinＡ-sinＢ)cosＣ
＝2sinＡcosＣ－2sinＢcosＣ
＝sin(Ａ+Ｃ)+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ)-sin(Ｂ+Ｃ)
＝sinＢ+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ)-sinＡ
＝sinＢ-sinＡ+sin(Ａ-Ｃ)-sin(Ｂ-Ｃ),
（証明おわり）

【問９】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
2(sinＡ-sinＢ)sinＣ＝cosＢ-cosＡ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),

【証明開始】
2(sinＡ-sinＢ)sinＣ
＝2sinＡsinＣ－2sinＢsinＣ
＝-cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)+cos(Ｂ+Ｃ)
＝cosＢ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ)-cosＡ
＝cosＢ-cosＡ+cos(Ａ-Ｃ)-cos(Ｂ-Ｃ),
（証明おわり）

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３次方程式が重根を持つ条件

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【難問１】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【解答１】
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
（２）
３（式１）－（式４）ｘを計算する。
３ｘ^３＋３ａｘ＋３ｂ－（３ｘ^３＋ａｘ）＝０
３ａｘ＋３ｂ－ａｘ＝０
２ａｘ＋３ｂ＝０　（式５）
（３）
ａ≠０の場合は、
ｘ＝－３ｂ／（２ａ）　（式６）
このｘの値が重根である。
（４）
ａ＝０の場合は、
式５より、
ｂ＝０
すなわち、ａ＝ｂ＝０の場合に、式１も式４もｘ＝０を解に持つ。
（５）
式６のｘの値を式４に代入する。
３（－３ｂ／（２ａ））^２＋ａ＝０
（２７／４）（ｂ／ａ）^２＋ａ＝０
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
式７は、ａ＝ｂ＝０の場合も含んでいる。
（６）
式６のｘの値を式１に代入する。
（－３ｂ／（２ａ））^３＋ａ（－３ｂ／（２ａ））＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（３／２）ｂ＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（１／２）ｂ＝０ 
－２７（ｂ／ａ）^３－４ｂ＝０
２７（ｂ／ａ）^３＋４ｂ＝０
２７ｂ^３＋４ｂａ^３＝０
ｂ（２７ｂ^２＋４ａ^３）＝０
ｂ＝０
ｏｒ
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
再び式７を得た。
（７）
よって、パラメータａとｂの間に成り立つ関係は、 
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
である。おぼえ易い式に変形すると、
（ｂ／２）^２＋（ａ／３）^３＝０　（式７’） 
これが、式１が重根（３重根も重根の一種として）を持つ条件である。この式の左辺の式は、３次方程式の判別式である。
（解答おわり）

【解答２】 
　式１が重根を持つ場合は、式ｆと、それを微分した式ｆ’≡ｇが共通因数を持つ。
　共通因数を持つ式ｆと式ｇをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が０になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
（１）先ず、ｆ’≡ｇを計算する。

このｆをｇで割り算した余りの式ｈを計算する。

 次にｇをｈで割り算した余りの定数項の式ｋを計算する。
（ただし、ａ≠０とする）

ｆとｇが共通因数ｈを持つので、式ｇはｈで割り切れ、余りの定数項ｋは０になる。
よって、以下の式が成り立つ。

解答１で求めた解の式７と同じ式ａ－５が得られた。この式は３次方程式の判別式である。
（ａ＝０の場合）
　重根を持つ条件は、ｂ＝０である。
これは、式ａ－５に当てはまっている。
その場合にｘ＝０で３重根を持つ。
（解答おわり）

（コメント）
ここで、３次方程式１の判別式Ｄは、
Ｄ≡－（ｂ／２）^２－（ａ／３）^３
であり、
Ｄ＝０の場合に式１は重根を持ち、
Ｄ＞０の場合に式１は３つの実数根を持つ。

この判別式Ｄは、以下の様にすると思い出し易い。
式１をｙとして、
ｙの微分に－１を掛けた式８を考える。

そして、その式８のｘに、
式１が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす

を代入して式９を計算する。
その式９：
ｙの微分に－１を掛けた式≧０
が、式１の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Ｄを思い出し易い。

この式９を展開すると以下の式１０になります。

この式１０を以下の様に変形することで判別式Ｄが導き出せます。

 こうして、式１１の判別式Ｄが導き出せた。
（参考）
「３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根」

【問２】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根の値である。
　そのため、以下のように、式(1)と式(2)を連立してパラメータｃの値を計算する。

（問２の解答おわり）

【難問３】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
　共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータｋの値を計算する。

（問３の解答おわり）

【難問４】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
　共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａの値を計算する。

（問４の解答おわり）

【難問５】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
　共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａ、ｋ、ｃの関係式を求める。



（この式の左辺は３次方程式の判別式である）
この式に、分母の最大の項を掛け算する。

式(8)が求める、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係（判別式＝０となる関係）である。
（問５の解答おわり）

リンク：
3次方程式の3つの解が全て実数解である条件
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組合せの数の展開の公式

以下はここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

を証明せよ。

【解答】

ここで以下の関数ｇ(k) を考える。

（証明おわり）

リンク：
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計算ミス対策：計算ミスの改善方法

模様数と色模様毎の確率の積を考える確率の問題

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　赤玉３個と青玉２個と白玉１個が入っている袋から無作為に１個を取り出し、 色を確認した後、もとに戻す。これを３回繰り返すとき、 全ての色の玉を取り出す確率を求めよ。

【解答】
　各玉を取り出す確率を列記する。次に、以下の図のように、３回の試行順の色模様のバラエティ毎に、その色模様を生じる確率の積を列記する。

各色模様のバラエティを生じる確率の総和が求める確率である。その総和を以下の式で計算する。

（解答おわり）

リンク：
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円と放物線の接点を求める問題（２）

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。

【解答】
　先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。

図から、接点は、ｙ＝－１の点とｙ＝１の点と、それ以外にｙ座標が－１／２程度の２つの点との合計４点あると、見通しを立てます。
（それをそのまま解答にしても良い）

接点を求める問題は、微分で接点の条件を与える方程式を作ることが計算を少なくできるコツです。

そのため、以下で、微分を利用して接点の条件を与える方程式を作ります。

これにより：
この式５ｂと先の２つのグラフの式２つとの、２変数の３つの式を連立させて、ｋを求める問題に変換できました。

式５ｂから、以下の式６が得られます。

以下で、この式の２つの場合に分けて、解を求めます。

 これにより、以下の第１の解の群が得られた。

次に、式６のもう１つの場合の解を求めます。

これにより、以下の第２の解の群が得られた。

よって、式１のグラフと式２のグラフが接するようにするｋの値は、

ｋ＝±１，　－５／４
の３つです。
（解答おわり）

（補足）
　式６ｂの場合の第２の解の群は、微分を用いないでも、以下の様にして接点が２重解を持つ条件から導くことができます。
（１）＋（２）：

この２次方程式は、
ｋ＝－５／４
の場合に２重解を持ちます。
　しかし、その２重解が接点をあらわすことはあまり明確ではありません。
また、この２次方程式にこだわると、
式６ａの場合の接点の第１の解の群を見落とす恐れがあります。
　そのため、接点を求める計算では、
微分を利用した接点の条件の式５ｂを使って、式６ａと式６ｂを導き出す明確な計算によって接点を計算する方が望ましいです。 

リンク：
円と放物線の接線（２）重解の判別式の意味
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点Pから引いた放物線の接線の接点AとＢの中点のｘ座標は点Pと同じ

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。


【解答】
　ｙ座標を拡大縮小した図形においても、問題の本質が変わらない。
そのため、ｙ座標を以下の図の式でＹ座標に変換して問題を解く。

放物線のグラフの関数をｆ(x) とあらわす。

この式(3)と式(4)を連立して、P点を通る直線と放物線の交点の座標（ｘ，Ｙ）を求める。
　ここで、Ｐ点を通る直線の傾きｋが放物線の交点での放物線のグラフの傾きｆ’(x) と等しくなれば、その交点は、放物線と直線との接点になる。その条件を以下の式(5)で導入して計算する。


この接線の傾きｋを与える式の中に現れた式：

の根号の中が０以上でなければ、接線の傾きｋの解が無く、接点ＡおよびＢの解が無い。この式の根号の中が０以上であることが、点Ｐから放物線に接線を引くことができる条件である。
　以上で得られた傾きｋの式に式(6)を代入して接点ＡとＢのｘ座標を求める。

　以上の式(8)と(9)とで、接点ＡとＢのｘ座標が求められた。次に、接点ＡとＢのＹ座標を求める。

次に、点Ａと点Ｂの中点Ｒの座標を求める。

式(12)により、点Ｒのｘ座標が点Ｐのｘ座標と同じであることが示された。
次に、点Ｐの真上の点Ｑまでの高さPQ＝ｇを求める。

式(17)により、式(2)の関係が成り立っている。
このため、グラフをＹ方向に拡大縮小して座標系をy座標に戻せば、式(1)が成り立っている。
（解答おわり）

リンク：
やさしい微分積分
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確率の和を計算して漸化式を求める

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　袋の中に赤玉が3個、白玉が7個入っているとする。
1回の試行において、赤玉を取り出したら代わりに白玉を入れ、白玉を取り出したら代わりに赤玉を入れるとする。
Pnをn回目に赤玉を取り出す確率とする。Pnを求めよ。

【解答】
　先ず、P１を計算する。
P1=3/10,　(1)
次に、P2 を計算する。
（注意）以下の式(2)を導出する計算は、Ｐ1の値 が式(1)の値以外の場合でも成り立つ。

式(2)により、P2 を P1 であらわす式が得られた。

次に、P3 を計算する。
　以下の図で考察し、ｎ回目に玉を取り出して所定の玉を補充した後で赤玉の数が縦軸で示す数になる確率をｋ(n,i) とする。そして、ｋ(n,i) の状態の次に、n+1 回目に赤玉が取り出される確率をＤ(n,i) とする。ここで、Ｐ2は、もともとは、以下の式であらわされる。


Ｐ3の４つの項のうちｋ11の点から生じる２つの項の和を以下の式で計算する。

Ｐ3の４つの項のうちｋ12の点から生じる残り２つの項の和を以下の式で計算する。

よって、Ｐ3 を構成する４つの項の総和が、１回目の操作の結果の赤玉の数毎の確率k11と確率k12の重みの積で与えられ、以下の式で計算できる。

Ｐ4も上記のように計算した。
次に、以上の計算を種にして、全てのｎに係わる確率Ｐn の漸化式を求める。

Ｐn をあらわす式を求める。

式(10)を用いて計算したＰ2, Ｐ3 が先に求めた解と一致した。
式(10)が、求めるＰn の解である。
（解答おわり）

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