2025年4月26日土曜日
2025年4月14日月曜日
模様数と色模様毎の確率の積を考える確率の問題
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
赤玉３個と青玉２個と白玉１個が入っている袋から無作為に１個を取り出し、 色を確認した後、もとに戻す。これを３回繰り返すとき、 全ての色の玉を取り出す確率を求めよ。
【解答】
各玉を取り出す確率を列記する。次に、以下の図のように、３回の試行順の色模様のバラエティ毎に、その色模様を生じる確率の積を列記する。
各色模様のバラエティを生じる確率の総和が求める確率である。その総和を以下の式で計算する。
（解答おわり）
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高校数学の目次
【問１】
赤玉３個と青玉２個と白玉１個が入っている袋から無作為に１個を取り出し、 色を確認した後、もとに戻す。これを３回繰り返すとき、 全ての色の玉を取り出す確率を求めよ。
【解答】
各玉を取り出す確率を列記する。次に、以下の図のように、３回の試行順の色模様のバラエティ毎に、その色模様を生じる確率の積を列記する。
各色模様のバラエティを生じる確率の総和が求める確率である。その総和を以下の式で計算する。
（解答おわり）
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2024年11月9日土曜日
円と放物線の接点を求める問題（２）
以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。
【解答】
先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。
図から、接点は、ｙ＝－１の点とｙ＝１の点と、それ以外にｙ座標が－１／２程度の２つの点との合計４点あると、見通しを立てます。
（それをそのまま解答にしても良い）
接点を求める問題は、微分で接点の条件を与える方程式を作ることが計算を少なくできるコツです。
そのため、以下で、微分を利用して接点の条件を与える方程式を作ります。
これにより：
この式５ｂと先の２つのグラフの式２つとの、２変数の３つの式を連立させて、ｋを求める問題に変換できました。
式５ｂから、以下の式６が得られます。
【問１】
以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。
【解答】
先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。
（それをそのまま解答にしても良い）
接点を求める問題は、微分で接点の条件を与える方程式を作ることが計算を少なくできるコツです。
そのため、以下で、微分を利用して接点の条件を与える方程式を作ります。
これにより：
この式５ｂと先の２つのグラフの式２つとの、２変数の３つの式を連立させて、ｋを求める問題に変換できました。
以下で、この式の２つの場合に分けて、解を求めます。
これにより、以下の第１の解の群が得られた。
次に、式６のもう１つの場合の解を求めます。
これにより、以下の第２の解の群が得られた。
よって、式１のグラフと式２のグラフが接するようにするｋの値は、
ｋ＝±１， －５／４
の３つです。
（解答おわり）
（補足）
式６ｂの場合の第２の解の群は、微分を用いないでも、以下の様にして接点が２重解を持つ条件から導くことができます。
（１）＋（２）：
この２次方程式は、
ｋ＝－５／４
の場合に２重解を持ちます。
しかし、その２重解が接点をあらわすことはあまり明確ではありません。
また、この２次方程式にこだわると、
式６ａの場合の接点の第１の解の群を見落とす恐れがあります。
そのため、接点を求める計算では、
微分を利用した接点の条件の式５ｂを使って、式６ａと式６ｂを導き出す明確な計算によって接点を計算する方が望ましいです。
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の３つです。
（解答おわり）
（補足）
式６ｂの場合の第２の解の群は、微分を用いないでも、以下の様にして接点が２重解を持つ条件から導くことができます。
（１）＋（２）：
ｋ＝－５／４
の場合に２重解を持ちます。
しかし、その２重解が接点をあらわすことはあまり明確ではありません。
また、この２次方程式にこだわると、
式６ａの場合の接点の第１の解の群を見落とす恐れがあります。
そのため、接点を求める計算では、
微分を利用した接点の条件の式５ｂを使って、式６ａと式６ｂを導き出す明確な計算によって接点を計算する方が望ましいです。
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2024年11月8日金曜日
点Pから引いた放物線の接線の接点AとＢの中点のｘ座標は点Pと同じ
以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。
【解答】
ｙ座標を拡大縮小した図形においても、問題の本質が変わらない。
そのため、ｙ座標を以下の図の式でＹ座標に変換して問題を解く。
放物線のグラフの関数をｆ(x) とあらわす。
この式(3)と式(4)を連立して、P点を通る直線と放物線の交点の座標（ｘ，Ｙ）を求める。
ここで、Ｐ点を通る直線の傾きｋが放物線の交点での放物線のグラフの傾きｆ’(x) と等しくなれば、その交点は、放物線と直線との接点になる。その条件を以下の式(5)で導入して計算する。
この接線の傾きｋを与える式の中に現れた式：
の根号の中が０以上でなければ、接線の傾きｋの解が無く、接点ＡおよびＢの解が無い。この式の根号の中が０以上であることが、点Ｐから放物線に接線を引くことができる条件である。
以上で得られた傾きｋの式に式(6)を代入して接点ＡとＢのｘ座標を求める。
以上の式(8)と(9)とで、接点ＡとＢのｘ座標が求められた。次に、接点ＡとＢのＹ座標を求める。
次に、点Ａと点Ｂの中点Ｒの座標を求める。
式(12)により、点Ｒのｘ座標が点Ｐのｘ座標と同じであることが示された。
次に、点Ｐの真上の点Ｑまでの高さPQ＝ｇを求める。
式(17)により、式(2)の関係が成り立っている。
このため、グラフをＹ方向に拡大縮小して座標系をy座標に戻せば、式(1)が成り立っている。
（解答おわり）
リンク：
やさしい微分積分
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【問１】
以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。
【解答】
ｙ座標を拡大縮小した図形においても、問題の本質が変わらない。
そのため、ｙ座標を以下の図の式でＹ座標に変換して問題を解く。
放物線のグラフの関数をｆ(x) とあらわす。
この式(3)と式(4)を連立して、P点を通る直線と放物線の交点の座標（ｘ，Ｙ）を求める。
ここで、Ｐ点を通る直線の傾きｋが放物線の交点での放物線のグラフの傾きｆ’(x) と等しくなれば、その交点は、放物線と直線との接点になる。その条件を以下の式(5)で導入して計算する。
この接線の傾きｋを与える式の中に現れた式：
の根号の中が０以上でなければ、接線の傾きｋの解が無く、接点ＡおよびＢの解が無い。この式の根号の中が０以上であることが、点Ｐから放物線に接線を引くことができる条件である。
以上で得られた傾きｋの式に式(6)を代入して接点ＡとＢのｘ座標を求める。
以上の式(8)と(9)とで、接点ＡとＢのｘ座標が求められた。次に、接点ＡとＢのＹ座標を求める。
次に、点Ａと点Ｂの中点Ｒの座標を求める。
式(12)により、点Ｒのｘ座標が点Ｐのｘ座標と同じであることが示された。
次に、点Ｐの真上の点Ｑまでの高さPQ＝ｇを求める。
式(17)により、式(2)の関係が成り立っている。
このため、グラフをＹ方向に拡大縮小して座標系をy座標に戻せば、式(1)が成り立っている。
（解答おわり）
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やさしい微分積分
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2024年10月29日火曜日
確率の和を計算して漸化式を求める
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
袋の中に赤玉が3個、白玉が7個入っているとする。
1回の試行において、赤玉を取り出したら代わりに白玉を入れ、白玉を取り出したら代わりに赤玉を入れるとする。
Pnをn回目に赤玉を取り出す確率とする。Pnを求めよ。
【解答】
先ず、P１を計算する。
P1=3/10, (1)
次に、P2 を計算する。
（注意）以下の式(2)を導出する計算は、Ｐ1の値 が式(1)の値以外の場合でも成り立つ。
式(2)により、P2 を P1 であらわす式が得られた。
次に、P3 を計算する。
以下の図で考察し、ｎ回目に玉を取り出して所定の玉を補充した後で赤玉の数が縦軸で示す数になる確率をｋ(n,i) とする。そして、ｋ(n,i) の状態の次に、n+1 回目に赤玉が取り出される確率をＤ(n,i) とする。ここで、Ｐ2は、もともとは、以下の式であらわされる。
Ｐ3の４つの項のうちｋ11の点から生じる２つの項の和を以下の式で計算する。
Ｐ3の４つの項のうちｋ12の点から生じる残り２つの項の和を以下の式で計算する。
よって、Ｐ3 を構成する４つの項の総和が、１回目の操作の結果の赤玉の数毎の確率k11と確率k12の重みの積で与えられ、以下の式で計算できる。
Ｐ4も上記のように計算した。
次に、以上の計算を種にして、全てのｎに係わる確率Ｐn の漸化式を求める。
Ｐn をあらわす式を求める。
式(10)を用いて計算したＰ2, Ｐ3 が先に求めた解と一致した。
式(10)が、求めるＰn の解である。
（解答おわり）
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【問１】
袋の中に赤玉が3個、白玉が7個入っているとする。
1回の試行において、赤玉を取り出したら代わりに白玉を入れ、白玉を取り出したら代わりに赤玉を入れるとする。
Pnをn回目に赤玉を取り出す確率とする。Pnを求めよ。
【解答】
先ず、P１を計算する。
P1=3/10, (1)
次に、P2 を計算する。
（注意）以下の式(2)を導出する計算は、Ｐ1の値 が式(1)の値以外の場合でも成り立つ。
式(2)により、P2 を P1 であらわす式が得られた。
次に、P3 を計算する。
以下の図で考察し、ｎ回目に玉を取り出して所定の玉を補充した後で赤玉の数が縦軸で示す数になる確率をｋ(n,i) とする。そして、ｋ(n,i) の状態の次に、n+1 回目に赤玉が取り出される確率をＤ(n,i) とする。ここで、Ｐ2は、もともとは、以下の式であらわされる。
Ｐ3の４つの項のうちｋ11の点から生じる２つの項の和を以下の式で計算する。
Ｐ3の４つの項のうちｋ12の点から生じる残り２つの項の和を以下の式で計算する。
よって、Ｐ3 を構成する４つの項の総和が、１回目の操作の結果の赤玉の数毎の確率k11と確率k12の重みの積で与えられ、以下の式で計算できる。
Ｐ4も上記のように計算した。
次に、以上の計算を種にして、全てのｎに係わる確率Ｐn の漸化式を求める。
Ｐn をあらわす式を求める。
式(10)を用いて計算したＰ2, Ｐ3 が先に求めた解と一致した。
式(10)が、求めるＰn の解である。
（解答おわり）
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2024年8月16日金曜日
6文字を円形に並べるパターンの確率（２）
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問２】
文字A,B,C,D,E,Fを円形に並べるとき
(2-1)AとBが隣り合う確率
(2-2)AとBが向かい合う確率
を求めよ。
《解答方針》
（円順列の配置パターンの確率は、円卓の席を固定して考える）
(1)円順列の円卓を固定して、その席に文字が配置される順列の数を考えて確率を求める。
(2)円卓の特定の席へ特定の文字を配置したパターンは、全員（全部の文字）を一斉に隣の席へ移動させる回転毎に異なる配置になり、結局円卓の席数倍（この問題では６倍）の数の配置がある。
(3)円卓の特定の席に特定の文字を配置した場合に、他の文字が同様に確からしく配置されるパターンを数えて配置パターンの確率を求める。
【解１】
(2-1の解答)
確率を求めるべきパターンの概要は、以下の図のようなパターンである。文字Aから見た文字Bの位置が２通りある。
下の円卓の図の上端の位置に文字Aを置いた場合に、文字Bが配置される、同様に確からしい配置は以下の図の通り５つある。
問題(2-1)の配置パターンは、これらのうち、①と⑤の２通りの配置パターンが該当する。
従って、確率=２／５
（(2-1)の解答おわり）
(2-2の解答）
確率を求めるべきパターンの概要は、以下の図のようなパターンである。文字Aから見た文字Bの位置は１通り。
問題(2-2)の配置パターンは、先の５つの同様に確からしい配置のうち、③の１通りの配置パターンが該当する。
従って、確率=１／５
（(2-2)の解答おわり）
（補足）
ここで、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわした配置のパターンは、下図のようになる。
すなわち、文字Aと文字Bを区別しないであらわすと、(2-1)と(2-2)の円順列のパターンの数は、ともに１個である。
(2-1)の配置の、文字Aの配置位置をあらゆる位置にした場合のパターンを考察する。
先ず、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわすと：
上図のように、６通りある。
そのパターンの文字Aと文字Bを区別すると、以下の図の通り１２通りの配置がある。
一方で、(2-2)の配置の、文字Aの配置位置をあらゆる位置にした場合のパターンは、
先ず、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわすと：
上図のように、３通りある。
そのパターンの文字Aと文字Bを区別すると、以下の図の通り６通りの配置がある。
このように配置パターンの数に違いがあり、(2-1)の確率と(2-2)の確率に違いを生じた。
文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●で表わした(2-1)と(2-2)の２つのパターンは、一見すると対等に見えたが、(2-1)と(2-2)が発生する確率が異なるので、それらの黒丸●であらわした(2-1)のパターンと(2-2)のパターンは同様に確からしく生じるものではなかった。
（補足おわり）
リンク：
高校数学の目次
【問２】
文字A,B,C,D,E,Fを円形に並べるとき
(2-1)AとBが隣り合う確率
(2-2)AとBが向かい合う確率
を求めよ。
《解答方針》
（円順列の配置パターンの確率は、円卓の席を固定して考える）
(1)円順列の円卓を固定して、その席に文字が配置される順列の数を考えて確率を求める。
(2)円卓の特定の席へ特定の文字を配置したパターンは、全員（全部の文字）を一斉に隣の席へ移動させる回転毎に異なる配置になり、結局円卓の席数倍（この問題では６倍）の数の配置がある。
(3)円卓の特定の席に特定の文字を配置した場合に、他の文字が同様に確からしく配置されるパターンを数えて配置パターンの確率を求める。
【解１】
(2-1の解答)
確率を求めるべきパターンの概要は、以下の図のようなパターンである。文字Aから見た文字Bの位置が２通りある。
下の円卓の図の上端の位置に文字Aを置いた場合に、文字Bが配置される、同様に確からしい配置は以下の図の通り５つある。
問題(2-1)の配置パターンは、これらのうち、①と⑤の２通りの配置パターンが該当する。
従って、確率=２／５
（(2-1)の解答おわり）
(2-2の解答）
確率を求めるべきパターンの概要は、以下の図のようなパターンである。文字Aから見た文字Bの位置は１通り。
問題(2-2)の配置パターンは、先の５つの同様に確からしい配置のうち、③の１通りの配置パターンが該当する。
従って、確率=１／５
（(2-2)の解答おわり）
（補足）
ここで、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわした配置のパターンは、下図のようになる。
すなわち、文字Aと文字Bを区別しないであらわすと、(2-1)と(2-2)の円順列のパターンの数は、ともに１個である。
(2-1)の配置の、文字Aの配置位置をあらゆる位置にした場合のパターンを考察する。
先ず、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわすと：
上図のように、６通りある。
そのパターンの文字Aと文字Bを区別すると、以下の図の通り１２通りの配置がある。
一方で、(2-2)の配置の、文字Aの配置位置をあらゆる位置にした場合のパターンは、
先ず、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわすと：
上図のように、３通りある。
そのパターンの文字Aと文字Bを区別すると、以下の図の通り６通りの配置がある。
このように配置パターンの数に違いがあり、(2-1)の確率と(2-2)の確率に違いを生じた。
文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●で表わした(2-1)と(2-2)の２つのパターンは、一見すると対等に見えたが、(2-1)と(2-2)が発生する確率が異なるので、それらの黒丸●であらわした(2-1)のパターンと(2-2)のパターンは同様に確からしく生じるものではなかった。
（補足おわり）
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2024年7月29日月曜日
最後の赤玉を取り出したとき白玉が５個残る確率
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
赤玉5個と白玉10個が入っている袋の中から無作為に1個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。
5個目の赤玉が取り出されたとき、袋の中に残っている白玉が5個である確率を求めよ。
【解１】
求める確率＝
(９回目までに赤４個と白５個が出る確率)(1/6)
である。
９回目までに赤４個と白５個が出る事象の連鎖には
(赤,赤,赤,赤,白,白,白,白,白)
がある。
その場合の確率＝
である。
いろいろな場合を考えると、
白５つと赤４つの順がどうであっても、
その順列の確率=
になる。
一方で、
(赤,赤,赤,赤,白,白,白,白,白)
のあらゆる並び方の数は、
である。
以上の結果を合わせると、
求める確率＝
である。
（解１おわり）
【解２】
15個全部並べた順列の左から順に取ることにする。
右の6個が、赤、白、白、白、白、白になる順列が作られる確率を求めれば良い。
その確率は、
順列の右から順に、白、白、白、白、白、赤、・・・
になる順列が作られる確率と同じである。
順列の右から順に、白、白、白、白、白、赤、・・・
となる順列の確率＝
である。
（解２おわり）
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【問１】
赤玉5個と白玉10個が入っている袋の中から無作為に1個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。
5個目の赤玉が取り出されたとき、袋の中に残っている白玉が5個である確率を求めよ。
【解１】
求める確率＝
(９回目までに赤４個と白５個が出る確率)(1/6)
である。
９回目までに赤４個と白５個が出る事象の連鎖には
(赤,赤,赤,赤,白,白,白,白,白)
がある。
その場合の確率＝
である。
いろいろな場合を考えると、
白５つと赤４つの順がどうであっても、
その順列の確率=
になる。
一方で、
(赤,赤,赤,赤,白,白,白,白,白)
のあらゆる並び方の数は、
である。
以上の結果を合わせると、
求める確率＝
である。
（解１おわり）
【解２】
15個全部並べた順列の左から順に取ることにする。
右の6個が、赤、白、白、白、白、白になる順列が作られる確率を求めれば良い。
その確率は、
順列の右から順に、白、白、白、白、白、赤、・・・
になる順列が作られる確率と同じである。
順列の右から順に、白、白、白、白、白、赤、・・・
となる順列の確率＝
である。
（解２おわり）
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