これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。
【課題】以下の３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件を導き出せ。
（課題おわり）
【解答１】
《式(1)の関数f(x)の３次方程式の解を求める問題は、変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解くのが定石である。》
その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。
y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
先ずは、以下の計算により、関数g(t)の係数を導き出す。
これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。
方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。
この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。
先ず、g(t1)を計算する。
g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。
この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。
この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。（なお、Ｄ1が０になることが３次方程式の重解を調べる判別式である）。式(7)をよく見ると、式(7)が満足されるならば、 式(4)で表された前提条件（ｓ＞０）も満足される事がわかる。
判別式(7)の左辺Ｄ1 は、元の式(1)の係数で表し、更に係数を変えると式(8)であらわすＤ2 になる。この式(8)＝Ｄ2 の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
式(8)＝Ｄ2 を２７で割り算してＤ3 を得る。
この式(9)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解答１おわり）
【解答２】
解答１の定石の解き方をしない場合には、以下のように計算が面倒になる。
この３次方程式の関数f(x)の表すグラフY=f(x)の形を描くと以下の図が描ける。
y=f(x)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点のｘ座標を表す。
そのため、先ず、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数f(x)を微分した関数f'(x)が０になる点が２つあることである。その２つの点のｘ座標は方程式(2)で求められる。方程式(2)の解は以下の式で計算できる。
この方程式(2)が２つの解を持つ条件は以下の式(3)である。
この式(3)の条件が成り立つ場合の方程式(2)の解は、以下の計算で求められる。
この解のｘ座標をx1とx2として以下の式で表す。
この２つのｘ座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標の値である。その２つの点のｙ座標の値が負と正であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の値の積が負であるという条件だけでも、グラフはX軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。
先ず、f(x1)を計算する。
f(x2)も、同様にして、以下の式(5)で表せる。
この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。
この式が、3つの解が全て実数解である条件である（解その１）。
次に、この式D1を展開した式を計算する。
この計算の結果、以下の式(7)の解（解その２）が得られた。
この解の式(7)は、解その１の解の式(9)と同じである。解その１の式(7)を見ると、解その１の式(4)で表された前提条件は、解その１の式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。
よって、解その２の式(7)は、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解答２おわり）
（補足）以上のようにして、高校数学の範囲で、かろうじて、３次方程式の解の判別式を導き出すことができた。しかし、この問題は、このようにして高校数学の視点に基づいて解を求めるよりは、大学数学の、新たな視点から見た判別式の概念を用いて解を得る方が良い。その方が数学の視野が広がるからです。
ここをクリックした先の「三次方程式の判別式の意味と使い方」のサイトに、その新たな視点から見た判別式の概念が説明されている。
【問題１】以下の３次方程式（式(1)）の解が３つの異なる実数解になるｋの値の範囲を求めよ。
（問題１おわり）
【解１】
式(1)の関数f(x)の３次方程式の変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解く。
その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。
y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
先ずは、以下の計算により、関数ｆ(x) を関数g(t)に書き換える。
これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。
方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。
この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。
先ず、g(t1)を計算する。
g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。
この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。
この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。式(7)を見ると、最初に得られた式(4)で表された前提条件は、式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。
判別式(7)の左辺Ｄ1 は、元の式(1)の係数で表し、更に係数を変えると式(8)になる。この式(8)のＤ2 の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
式(8)を更に変形する。
この３次式ｐ(k) が正になれが式(8) が成り立つ。
以下で、この３次式ｐ(k) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(k) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(k) の式にｋ＝１を代入するとｐ(1)＝０になる。そのため、３次式ｐ(k) は、（ｋ－１）で割り切れることがわかる。
この式(10)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（問題１の解１おわり）
【解２】
式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。
y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。
この方程式(5)を解くと接点のｘ座標が求められる。
-------〔注意点〕-------
方程式(5)を計算すると接点のｘ座標を求めることができるが、方程式(5)のｘの解が複数（例えば３つ）あれば、接点が３つあることになる。その場合は、その接点を与える直線ｙ＝ｋｘの傾きｋに応じて、方程式(2)単独でのグラフの交点の数が変わるので注意する必要がある。
-------〔注意点おわり〕-------
３次方程式(5)の解が接点のｘ座標である。
以下で、この３次方程式における３次式ｐ(x) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(x) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(ｘ) の式にｘ＝１を代入するとｐ(１)＝０になる。そのため、３次式ｐ(ｘ) は、（ｘ－１）で割り切れることがわかる。
式(5)の解のｘ＝１を式(4)に代入して、グラフが接する場合のｋの値＝１が式(7)で求められた。
そのｋ＝１の値で両グラフが接するので、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ、y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数が多く（３つに）なる。
そのため、ｋの値が１より大きく（ｋ＞１）、ｋが式(8)の範囲になることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）になる条件である。
（問題１の解２おわり）
《補足》
問題１の解２の方が、解１よりも簡単な３次方程式を解く解き方になり解き易かった。解１で解いた３次方程式も解けなければならない。（解２の３次方程式は、解１の３次方程式をｘを介して表した、等価な３次方程式である）。微分を利用した解２の解き方の方が、解１よりも、計算の手順が少なく、解に至る手順がシンプルになった優れた解き方である。
《解２の解き方を一般の３次方程式に拡大する》
【課題】以下の３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件を導き出せ。
（課題おわり）
【解２の解き方の一般化】
式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。
y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。
この方程式(6)を解くと接点のｘ座標が求められる。
この３次方程式における３次式ｐ(x) が以下の場合（Case1とCase2）で因数分解できた場合は、それぞれの場合で、ｋの範囲が求められる。Case１の場合では、接点の条件が式(8)である。その結果、式(9)が、方程式(1)が異なる３つの実数解を持つ条件（解答）である。
Case１の場合は、式(9)の解になる。
（Case2）の場合のｋの値の範囲が上記のようになる理由は以下の理由による。
-------〔Case２の理由〕-------
ｋの解が３つある場合に、以下の図で示した関係がある。
-------〔Case２の理由おわり〕-------
なお、
となる（ここをクリックした先のページが参考になる）。上記のｋの３次方程式は、式(4)を介して、式(6)のｘの３次方程式と等価です。式(6)の３次方程式は、式(1)の解の個数が変わる境目のｋの値を与える３次方程式を、ｘを介して解き易くした方程式であると位置付けられる。
（解２の解き方の一般化おわり）
《式(6)のｘの３次方程式からｋの３次式を導く》
最大の分母を式全体に掛け算する。
こうして、ｘを消去したｋの３次方程式(10)が得られた。この式(10)は【課題】で計算したＤ3＝0 の式と同じ式である。この式(10)よりは、式(6)の３次方程式の方が解き易かった。
【問題２】以下の３次方程式（式(1)）の解が３つの異なる実数解になるｋの値の範囲を求めよ。
（問題２おわり）
【解答】
式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。
y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。
この方程式(6)を解くと接点のｘ座標が求められる。
以下で、この３次方程式における３次式ｐ(x) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(x) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(ｘ) の式にｘ＝1/4 を代入するとｐ(1/4)＝０になる。そのため、３次式ｐ(ｘ) は、（ｘ－(1/4)）で割り切れることがわかる。
式(6)の解のｘを式(5)に代入して、各接点のｘの値に対応するｋの値を計算する。
ｋの値の範囲の解が上記の範囲になる理由は以下の理由による。
-------〔ｋの範囲の解の理由〕-------
ｋの解が３つある場合に、以下の図で示した関係がある。
-------〔ｋの範囲の解の理由おわり〕-------
（問題２の解答おわり）
リンク：
３次方程式が重根を持つ条件
高校数学の目次
【課題】以下の３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件を導き出せ。
（課題おわり）
【解答１】
《式(1)の関数f(x)の３次方程式の解を求める問題は、変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解くのが定石である。》
その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。
y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
先ずは、以下の計算により、関数g(t)の係数を導き出す。
これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。
方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。
この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。
先ず、g(t1)を計算する。
g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。
この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。
この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。（なお、Ｄ1が０になることが３次方程式の重解を調べる判別式である）。式(7)をよく見ると、式(7)が満足されるならば、 式(4)で表された前提条件（ｓ＞０）も満足される事がわかる。
判別式(7)の左辺Ｄ1 は、元の式(1)の係数で表し、更に係数を変えると式(8)であらわすＤ2 になる。この式(8)＝Ｄ2 の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
式(8)＝Ｄ2 を２７で割り算してＤ3 を得る。
この式(9)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解答１おわり）
【解答２】
解答１の定石の解き方をしない場合には、以下のように計算が面倒になる。
この３次方程式の関数f(x)の表すグラフY=f(x)の形を描くと以下の図が描ける。
そのため、先ず、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数f(x)を微分した関数f'(x)が０になる点が２つあることである。その２つの点のｘ座標は方程式(2)で求められる。方程式(2)の解は以下の式で計算できる。
この方程式(2)が２つの解を持つ条件は以下の式(3)である。
この式(3)の条件が成り立つ場合の方程式(2)の解は、以下の計算で求められる。
この解のｘ座標をx1とx2として以下の式で表す。
この２つのｘ座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標の値である。その２つの点のｙ座標の値が負と正であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の値の積が負であるという条件だけでも、グラフはX軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。
先ず、f(x1)を計算する。
f(x2)も、同様にして、以下の式(5)で表せる。
この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。
この式が、3つの解が全て実数解である条件である（解その１）。
次に、この式D1を展開した式を計算する。
この計算の結果、以下の式(7)の解（解その２）が得られた。
この解の式(7)は、解その１の解の式(9)と同じである。解その１の式(7)を見ると、解その１の式(4)で表された前提条件は、解その１の式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。
よって、解その２の式(7)は、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解答２おわり）
（補足）以上のようにして、高校数学の範囲で、かろうじて、３次方程式の解の判別式を導き出すことができた。しかし、この問題は、このようにして高校数学の視点に基づいて解を求めるよりは、大学数学の、新たな視点から見た判別式の概念を用いて解を得る方が良い。その方が数学の視野が広がるからです。
ここをクリックした先の「三次方程式の判別式の意味と使い方」のサイトに、その新たな視点から見た判別式の概念が説明されている。
【問題１】以下の３次方程式（式(1)）の解が３つの異なる実数解になるｋの値の範囲を求めよ。
（問題１おわり）
【解１】
式(1)の関数f(x)の３次方程式の変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解く。
その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。
y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
先ずは、以下の計算により、関数ｆ(x) を関数g(t)に書き換える。
これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。
方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。
この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。
先ず、g(t1)を計算する。
g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。
この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。
この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。式(7)を見ると、最初に得られた式(4)で表された前提条件は、式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。
判別式(7)の左辺Ｄ1 は、元の式(1)の係数で表し、更に係数を変えると式(8)になる。この式(8)のＤ2 の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
式(8)を更に変形する。
この３次式ｐ(k) が正になれが式(8) が成り立つ。
以下で、この３次式ｐ(k) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(k) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(k) の式にｋ＝１を代入するとｐ(1)＝０になる。そのため、３次式ｐ(k) は、（ｋ－１）で割り切れることがわかる。
この式(10)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（問題１の解１おわり）
【解２】
式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。
y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。
この方程式(5)を解くと接点のｘ座標が求められる。
-------〔注意点〕-------
方程式(5)を計算すると接点のｘ座標を求めることができるが、方程式(5)のｘの解が複数（例えば３つ）あれば、接点が３つあることになる。その場合は、その接点を与える直線ｙ＝ｋｘの傾きｋに応じて、方程式(2)単独でのグラフの交点の数が変わるので注意する必要がある。
-------〔注意点おわり〕-------
３次方程式(5)の解が接点のｘ座標である。
以下で、この３次方程式における３次式ｐ(x) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(x) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(ｘ) の式にｘ＝１を代入するとｐ(１)＝０になる。そのため、３次式ｐ(ｘ) は、（ｘ－１）で割り切れることがわかる。
式(5)の解のｘ＝１を式(4)に代入して、グラフが接する場合のｋの値＝１が式(7)で求められた。
そのｋ＝１の値で両グラフが接するので、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ、y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数が多く（３つに）なる。
そのため、ｋの値が１より大きく（ｋ＞１）、ｋが式(8)の範囲になることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）になる条件である。
（問題１の解２おわり）
《補足》
問題１の解２の方が、解１よりも簡単な３次方程式を解く解き方になり解き易かった。解１で解いた３次方程式も解けなければならない。（解２の３次方程式は、解１の３次方程式をｘを介して表した、等価な３次方程式である）。微分を利用した解２の解き方の方が、解１よりも、計算の手順が少なく、解に至る手順がシンプルになった優れた解き方である。
《解２の解き方を一般の３次方程式に拡大する》
【課題】以下の３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件を導き出せ。
（課題おわり）
【解２の解き方の一般化】
式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。
y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。
この方程式(6)を解くと接点のｘ座標が求められる。
この３次方程式における３次式ｐ(x) が以下の場合（Case1とCase2）で因数分解できた場合は、それぞれの場合で、ｋの範囲が求められる。Case１の場合では、接点の条件が式(8)である。その結果、式(9)が、方程式(1)が異なる３つの実数解を持つ条件（解答）である。
Case１の場合は、式(9)の解になる。
（Case2）の場合のｋの値の範囲が上記のようになる理由は以下の理由による。
-------〔Case２の理由〕-------
ｋの解が３つある場合に、以下の図で示した関係がある。
-------〔Case２の理由おわり〕-------
なお、
となる（ここをクリックした先のページが参考になる）。上記のｋの３次方程式は、式(4)を介して、式(6)のｘの３次方程式と等価です。式(6)の３次方程式は、式(1)の解の個数が変わる境目のｋの値を与える３次方程式を、ｘを介して解き易くした方程式であると位置付けられる。
（解２の解き方の一般化おわり）
《式(6)のｘの３次方程式からｋの３次式を導く》
最大の分母を式全体に掛け算する。
こうして、ｘを消去したｋの３次方程式(10)が得られた。この式(10)は【課題】で計算したＤ3＝0 の式と同じ式である。この式(10)よりは、式(6)の３次方程式の方が解き易かった。
【問題２】以下の３次方程式（式(1)）の解が３つの異なる実数解になるｋの値の範囲を求めよ。
（問題２おわり）
【解答】
式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。
y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。
この方程式(6)を解くと接点のｘ座標が求められる。
以下で、この３次方程式における３次式ｐ(x) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(x) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(ｘ) の式にｘ＝1/4 を代入するとｐ(1/4)＝０になる。そのため、３次式ｐ(ｘ) は、（ｘ－(1/4)）で割り切れることがわかる。
式(6)の解のｘを式(5)に代入して、各接点のｘの値に対応するｋの値を計算する。
ｋの値の範囲の解が上記の範囲になる理由は以下の理由による。
-------〔ｋの範囲の解の理由〕-------
ｋの解が３つある場合に、以下の図で示した関係がある。
-------〔ｋの範囲の解の理由おわり〕-------
（問題２の解答おわり）
リンク：
３次方程式が重根を持つ条件
高校数学の目次
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