2015年3月28日土曜日

3次元の立体上の三角形の面積を平面上の三角形の逆射影で計算する

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】3次元の立体上の三角形ABCの面積Sを計算する。

この問を解く前に、先ず、以下の予備知識を持っていましょう。

また、ベクトルのcosθは、ベクトルのどの成分と対応するかを思い出す際に、以下のθがとても小さい図形を想像して思い出す公式の正しさをチェックするようにしましょう。
 そうすることで、あいまいな記憶から間違った公式が計算に混入しないように記憶の思い出しにフィルターをかけるようにしましょう。
 ここまで準備しておいて、以下の計算を開始します。
 線分ABに垂直なベクトルの形から、三角形ABCに垂直な法線のベクトルが以下の様に連想できます。
 (別の角度から、三角形の法線ベクトルを導き出す)
 以上の様に考えて三角形ABCの法線ベクトルを導き出しましたが、この計算は、以下の様にして、三角形ABCを含む面を表す方程式から直接に導き出すこともできます。
三角形ABCを含む面の方程式は以下の式で表せます。
この式は、三角形を含む平面上の位置ベクトル(X,Y,Z)と他のベクトルの内積を表す以下の式です。
この式から、三角形を含む平面上の2つの位置を結ぶベクトル(その位置ベクトルの差)と所定ベクトルの内積が、いつでも0になる、以下の式が成り立ちます。
この式は、この所定ベクトルが三角形を含む平面に垂直である事を示しています。よって、この所定ベクトルが面ABCの法線ベクトルであることがわかります。
(別の角度からの考察のおわり)

3次元の立体上の三角形ABCの面積は、XY平面上の三角形ABOを(1/cosθ)倍に逆射影して計算することができます。

(補足)
 この計算の途中で、以下の式であらわされる、
直角三角錐の3面の、直角三角形の面積の2乗の和が、直角三角錐の斜面の三角形の面積の2乗になるという、
ピタゴラスの定理に類似した公式(4平方の定理)が成り立っている。

《4平方の定理》
と表現することもできる。
そうして、以下の式で計算できる。

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