３次元の立体上の三角形の面積を平面上の三角形の逆射影で計算する

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】３次元の立体上の三角形ＡＢＣの面積Ｓを計算する。

この問を解く前に、先ず、以下の予備知識を持っていましょう。

また、ベクトルのｃｏｓθは、ベクトルのどの成分と対応するかを思い出す際に、以下のθがとても小さい図形を想像して思い出す公式の正しさをチェックするようにしましょう。
　そうすることで、あいまいな記憶から間違った公式が計算に混入しないように記憶の思い出しにフィルターをかけるようにしましょう。

 ここまで準備しておいて、以下の計算を開始します。

 線分ＡＢに垂直なベクトルの形から、三角形ＡＢＣに垂直な法線のベクトルが以下の様に連想できます。

 （別の角度から、三角形の法線ベクトルを導き出す）
　以上の様に考えて三角形ＡＢＣの法線ベクトルを導き出しましたが、この計算は、以下の様にして、三角形ＡＢＣを含む面を表す方程式から直接に導き出すこともできます。
三角形ＡＢＣを含む面の方程式は以下の式で表せます。

この式は、三角形を含む平面上の位置ベクトル（X,Y,Z)と他のベクトルの内積を表す以下の式です。

この式から、三角形を含む平面上の２つの位置を結ぶベクトル（その位置ベクトルの差）と所定ベクトルの内積が、いつでも０になる、以下の式が成り立ちます。

この式は、この所定ベクトルが三角形を含む平面に垂直である事を示しています。よって、この所定ベクトルが面ＡＢＣの法線ベクトルであることがわかります。
（別の角度からの考察のおわり）

３次元の立体上の三角形ＡＢＣの面積は、ＸＹ平面上の三角形ＡＢＯを（１／ｃｏｓθ）倍に逆射影して計算することができます。

（補足）
　この計算の途中で、以下の式であらわされる、
直角三角錐の３面の、直角三角形の面積の２乗の和が、直角三角錐の斜面の三角形の面積の２乗になるという、

ピタゴラスの定理に類似した公式（４平方の定理）が成り立っている。

《４平方の定理》

と表現することもできる。
そうして、以下の式で計算できる。

リンク：
高校数学の目次