ｒとｓが線分ｏｚに関して対称な位置にある証明

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【問】
　複素数ｒとｓとｚに関して以下の式が成り立つとき、
ｒとｓが線分ｏｚに関して対称な位置にあることを示せ。

【解答１】

ベクトルｒとＳの、ベクトルＺへの正射影が等しく、ベクトルｒとＳの、ベクトルＺに垂直なベクトルへの正射影が、
符号が逆で絶対値は等しい。
そのため、ｒの絶対値とＳの絶対値が等しい。
また、三角形OｒＺと三角形OＳＺは合同である。
そのため、
ｒとＳは線分ＯＺに関して対称な位置にある。
（証明おわり）

【解答２】
以下の関係が成り立つ。

よって、ベクトル（ｒ＋ｓ）がベクトルＺに平行である。
ベクトルｒとＳの和がベクトルＺに平行なので、
ベクトルｒとＳの、ベクトルＺに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しい。
また、

が成り立つ。
そのためベクトルｒとＳの、線分ＯＺへの正射影が等しい。そのため、ｒとＳは、線分ＯＺに垂直な１つの直線上にある。
また、
ベクトルｒとＳの、線分ＯＺに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しいので、
ベクトルｒとＳは線分ＯＺに関して対称なベクトルである。
（証明おわり）

【解答３】

上図において、直線OZに関して点ｓと点Ｒが線対称な位置にあるものとする。
その四角形ＯＳＺＲの各点の複素数を複素数ｚで割り算する。
得られた複素数があらわす四角形Ｏ(s2)(z2)(r2)は、四角形ＯＳＺＲに相似な第２の図になる。その点(s2)と点(r2)の複素数は互いに共役な複素数になる。そのため、以下の公式が成り立つ。

（公式の導出おわり）

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