複素数平面の計算公式を使って円周角の定理を示す

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【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

【解答１】
　この問題は、ベクトルの難問ですが、
複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
先ず、図を以下の図に書き換えて問題を解きます。

上図において、

という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。

ここで式の項を置き換えたＡは実数です。
更に計算を進めます。

 ここで、Ｂは実数である。
（解答１おわり）

【解答２】
以下の計算公式が成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算ができる。

（解答２おわり）

　以上のように、複素数平面の計算公式により、円周角の定理を簡単に示すことができました。
　ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク：
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
複素数計算の公式を覚える
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