等しい角度を傾きで比較する

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

点Ｏを原点とするＸＹ座標平面において、Ｙ軸上のＹ＝５の位置とＹ＝１の位置に点Ａと点Ｐがあり、
Ｘ軸上のＸ＝－２の位置とＸ＝６の位置に点Ｂと点Ｃがあり、
直線ＢＰと直線ＡＣの交点をＱとし、
直線ＣＰと直線ＡＢの交点をＲとするとき、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
となることを示しなさい。

【証明開始】
以下の様に直線ＢＱを高さ０の水平線と考え、その水平線上の各点の高さの比を（）の中に記載した図を書く。

この図から点Ａと点Ｃの水平線上の高さの比が４：（－４）＝１：（－１）であることがわかる。
そのため、下図のように、ＡＱ：ＱＣ＝１：１＝ｋ：ｋであることがわかる。

次に、直線ＲＣを高さ０の水平線と考え、その水平線上の各点の高さの比を（）の中に記載した図を書く。

この図から、点Ａと点Ｂの水平線上の高さの比が４：（－４／３）＝３：（ー１）であることがわかる。
そのため、下図のように、ＡＲ：ＲＢ＝３：１＝３ｓ：ｓであることがわかる。

これまで分かった線分の長さの比から、下図に示す点Ｑと点ＲのＸＹ座標を計算する。

点ＱとＲの座標と、直線ＯＱとＯＲの傾きが以下の様に計算できる。

直線ＯＱとＯＲの傾きの絶対値が等しいので、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
である。
（証明おわり）

【別の証明】
点Ｐを通りＢＣに平行な直線VSPTWを引く。

ＶＰとＰＷを求める。

三角形ＲＢＣを考えてＰＳを求める。

三角形ＱＢＣを考えてＰＴを求める。

（証明おわり）

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線分の長さが一定の証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

円Ｏと、円Ｏの２つの直径ＡＢとＣＤが与えられている。
円Ｏ上の任意の点ＰからＡＢ，ＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＱ，Ｒとする。
線分ＱＲの長さが一定になることを証明しなさい。

【証明開始】
以下の様にＰＯを直径にする補助円Ｍを書き加えます。

（１）
補助円Ｍの直径ＰＯは、円Ｏの直径ＡＢの半分である。
そのため、補助円の直径の大きさは一定である。
（２）
∠ＰＱＯ＝９０°
なので、ＱはＰＯを直径とする円上にある。
（３）
∠ＰＲＯ＝９０°
なので、ＲはＰＯを直径とする円上にある。
（４）
∠ＱＰＲ＋∠ＱＯＲ＝１８０°
∠ＱＯＣ＋∠ＱＯＲ＝１８０°
∴　∠ＱＰＲ＝∠ＱＯＣ
すなわち、Ｐの位置及び円Ｍの位置にかかわらず、
∠ＱＰＲ＝一定
である。
（５）
　（１）～（４）により、
一定の大きさの直径ＰＯを持つ円Ｍ上の点Ｑ，Ｐ，Ｒに関して、
弦ＱＲは 一定の∠ＱＰＲを与える。
そのため、
その弦ＱＲの長さは、Ｐの位置が変わっても同じ、一定の長さである。
（証明おわり）

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三角形の底辺を頂点の足で分割する問題

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

上の図のような、三角形ＡＢＣの底辺ＢＣを頂点Ａの足Ｄで分割した線分ＢＤの長さと線分ＣＤの長さの比が式１であらわされることを証明しなさい。

【解答】
以下の様に計算します。

（証明おわり）

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二等辺三角形と直角三角形の辺の長さの関係

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

上の図のような、ＡＢ＝ＡＣ＝１の二等辺三角形ＡＢＣと、その頂角Ａと斜辺ＡＢを共有し∠Ｄが９０°の直角三角形ＡＢＤがある。
ＢＣ＝ｘ
ＡＤ＝ｙ
とするとき、
（１）ｘの値が分かっているときｙをｘであらわしなさい。
（２）ｙの値が分かっているときｘをｙであらわしなさい。

《解答手順》
　図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

【解答】
まず、以下の様に、ＢＥ＝ＢＣとする補助線ＢＥを引きます。

これで生まれた三角形ＢＣＥは、三角形ＡＢＣに相似です。
△ＢＣＥ∽△ＡＢＣ
そのため、以下の式１の関係が成り立つ。

よって、ｙは式２のようにｘであらわせる。
一方、ｘは式４のようにｙであらわせる。
（解答おわり）

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