線分の長さが一定の証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

円Ｏと、円Ｏの２つの直径ＡＢとＣＤが与えられている。
円Ｏ上の任意の点ＰからＡＢ，ＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＱ，Ｒとする。
線分ＱＲの長さが一定になることを証明しなさい。

【証明開始】
以下の様にＰＯを直径にする補助円Ｍを書き加えます。

（１）
補助円Ｍの直径ＰＯは、円Ｏの直径ＡＢの半分である。
そのため、補助円の直径の大きさは一定である。
（２）
∠ＰＱＯ＝９０°
なので、ＱはＰＯを直径とする円上にある。
（３）
∠ＰＲＯ＝９０°
なので、ＲはＰＯを直径とする円上にある。
（４）
∠ＱＰＲ＋∠ＱＯＲ＝１８０°
∠ＱＯＣ＋∠ＱＯＲ＝１８０°
∴　∠ＱＰＲ＝∠ＱＯＣ
すなわち、Ｐの位置及び円Ｍの位置にかかわらず、
∠ＱＰＲ＝一定
である。
（５）
　（１）～（４）により、
一定の大きさの直径ＰＯを持つ円Ｍ上の点Ｑ，Ｐ，Ｒに関して、
弦ＱＲは 一定の∠ＱＰＲを与える。
そのため、
その弦ＱＲの長さは、Ｐの位置が変わっても同じ、一定の長さである。
（証明おわり）

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