点Ａを通る直線の円への接点は図形で求めること

これは、 ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ ａ，０）から引いた接線の円との接点Ｂの座標をもとめよ。

上の図で線分ＯＡの長さをａとする。

（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形で考えます。図形で解く方が速く解が得られるし、計算の見通しを良くするからです。

【解答１】まず、図形で考えないで解いてみます。
　式２で直線の式をあらわし、その直線を与える定数ｋを、式１と式２の連立方程式の解がｘの重根を持つように、定数ｋの値を定めます。

 この式で求める点の座標（ｘ，ｙ）の解が重解になる場合に直線が円に接している。式２の直線はＹ軸に平行にはならないので、式２と交差する点が重解になる場合はｘの値が重解になる事と等価である。
上の式のｘの解が重解になる直線を与える定数ｋの条件は以下の式３であらわされる。

座標（ｘ，ｙ）の解が重解になる定数ｋの条件が式５で求められた。
この式５の定数ｋを式４に代入してｘを求める。

式５と式６を式２に代入してｙを求める。

式６と式７で、定数ｋの値毎の解が求められ、ｒ＝１とおいて、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）が求められた。
（解答おわり）

【解答２】次に、図形で考えて解きます。

この図だけで、簡単に、見通し良く、Ｂ点の座標が求められました。
（解答おわり）

（補足）
　図形で考える解２で計算すると、計算がずいぶん楽になった。

【解答３】円の接線の公式を使って解く

こうして、接点B及びCの座標値が計算できた。
（解答おわり）
　この解３での計算量は、図で解く解２よりは多かったが、解１の計算量よりは少なかった。

リンク：
高校数学の目次