数列の和に関する難問

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題】（早稲田大）
n は 2 よりも大きい整数とし, 
数列：　a₁, a₂, a₃, ⋯, a_n,
と、
数列：　b₁, b₂, b₃, ⋯, b_n,
は、全て正の数であって、
以下の式１と式２を満たすものとする。

このとき、
０＜ｍ＜ｎ
である全ての整数ｍに対して、

が成り立つことを証明せよ。
（問題おわり）

【問題を解くための発想の準備体操】 
こういう、見た事の無い問題を解く場合は、
具体的な、特定の場合を考えて、問題を解くための発想が出やすくする、以下の様な考察をして発想の準備体操にします。

発想の準備体操なので、間違いがあっても、気にせず、その間違った発想を無かったことにはしないで、おおらかな気持ちで空想の翼を大きく広げます。

a₁＝a₂＝a₃＝ ⋯＝a_n＝１
と考えます。
式１により、
a₁＋a₂＋a₃＋ ⋯＋a_n＝ｎ，
ｂ₁＋ｂ₂＋ｂ₃＋ ⋯＋ｂ_ｎ＝ｎ，
となります。
ｂ_ｉをａ_ｉとの関係で考え易くするために、
ｂ_ｉ＝ｋ_ｉ・ａ_{ｉ ，}（４）
とあらわす、ｋ_ｉという記号を導入します。
すると、式２は、以下の式５であらわせます。

すると、
式１により、
ｎ＝ｂ₁＋ｂ₂＋ｂ₃＋ ⋯＋ｂ_ｎ
＝ｋ₁＋ｋ₂＋ｋ₃＋ ⋯＋ｋ_ｎ，
とあらわせます。

式５の関係があるので、
ｋ₁＜ｋ_{ｎ ，}
であって、
ｋ₁＜１＜ｋ_{ｎ ，}
です。
a₁＋a₂＋a₃＋ ⋯＋a_ｍ＝ｍ，
に対して、
ｂ₁＋ｂ₂＋ｂ₃＋ ⋯＋ｂ_n
は、
ｋ_ｎ＝ｂ_ｎ＞１
となる項などの、１より大きい項が減るので、
ｂ₁＋ｂ₂＋ｂ₃＋ ⋯　＋ｂ_ｍ＜ｍ
となります。

これで、具体例が、証明しようとするところまでつながるまで、準備体操が進みました。

【証明に近づく考察】
ｂ_ｉの和を、記号ｋ_ｉを使ってあらわすと、以下の式６になります。

この式６を式１に代入すると以下の式７が得られ、整理すると式８になります

式５に従ってｋ_ｉが順次に大きくなるので、
式８を成り立たせるために、
（ｋ_ｉ－１）が順次に、マイナスの値から始めて、プラスの値まで移行する事がわかります。
そのため、
式８の和を途中のｍで止めてしまったら、
（ｋ_ｉ－１）がプラスになる項が不足してしまうので、
そこまでの和は負になる事がわかるので、
０＜ｍ＜ｎなる整数ｍに関して以下の式９が成り立つ事がわかります。

これで、証明の式までたどりつけました。

しかし、この考えを反省すると以下の欠陥がある事が分かります。
（以上の考察の欠陥）
式８の和を途中のｍで止めてしまったら、
（ｋ_ｉ－１）がプラスになる項が減るだけで無く、
（ｋ_ｉ－１）がマイナスになる項が減ることもあり得るではないか。
その場合は、減った項の和がプラスになるとは限らなくなり、残った項の和がマイナスになるとは限らないではないか。

　この欠陥があったので、改めて、
（ｋ_ｉ－１）がプラスになる項が減るだけでなく、マイナスになる項も減る場合を考えます。
その場合は、残った項（ｍまでの項）は全て、（ｋ_ｉ－１）がマイナスになります。
そのため、それらの項の和はマイナスになり、式９が成り立ちます。
これで、証明が出来上がりました。

証明のポイントは、
式７を書いて、
式８を導いて 、
（場合１）
式８の和を途中のｍで止めたら、
未だ加えていない残りの項が全て、（ｋ_ｉ－１）がプラスになる場合。
（場合２）
式８の和を途中のｍで止めたら、
そこまで加えた項が全て、（ｋ_ｉ－１）がマイナスになる場合。
　この２つの場合に分けて式９を証明する。そして、式９を変形して、以下の式１０にすれば良いことがわかりました。

　後は、この方針で整理して証明を記述する作業が残っていますが、その部分は省略しますので、各自で行なってください。

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