軌跡（１） の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
下図のように点Ａ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）と原点を中心とする半径ｒの円上を動く点Ｐ（ｐ_１，ｐ_２）とを頂点とする三角形の重心Ｇ（ｘ，ｙ）は、点Ｐがその円上を動くとき、どういう軌跡を動くか。その点Ｇ（ｘ，ｙ）の描く軌跡の方程式を導け。

【解答１】
先ず、動く点Ｐ（ｐ_１，ｐ_２）の円の方程式を書く

次に、重心の座標の公式を使って、重心Ｇ（ｘ，ｙ）の座標を書く。

式１に式２と式３を代入してｐ_１とｐ_２を消去したい。
そのために、式２を以下の式に変形する。

同様にして、式３を以下の式５に変形する。

この式４と式５を式１に代入してｐ_１とｐ_２を消去する。

両辺を３^２で割り算する。

この点Ｇ（ｘ，ｙ）は、中心点

を中心とする、半径

の円周上にある。
（解答おわり）

【解答２】媒介変数θを使って軌跡を計算する。
以下の式でｐ_１とｐ_２をあらわす。

 すると、以下の式でｘとｙがあらわされる。

 この２つの式を変形する。

 この２つの式のsinとcosをそれぞれ２乗して合計することで、媒介変数θを消去する。
（媒介変数θの消去方法は、この方法に限る。） 

点Ｇ（ｘ，ｙ）は、中心点

を中心とする、半径

の円周上にある。
（解答おわり）

【問２】
　次に、点Ｇがその円周上を完全に一周するかを調べよ。

【解答】
完全に一周するかどうかを調べるには、偏角をあらわすパラメータθで点Ｐの位置をあらわす。
式１を満足する点Ｐの座標Ｐ（ｐ_１，ｐ_２）は、以下の式であらわされる。
ｐ_１＝ｒ・ｃｏｓθ　（式８）
ｐ_２＝ｒ・ｓｉｎθ　（式９）
θが０から２πラジアンまで変わるとＰ点は円周を一周する。
式８と式９を式２と式３に代入する。

式１０と式１１を変形する。

式１２と式１３から、
点Ｇ（ｘ，ｙ）は、
中心点

を中心とする、半径

の円周上の偏角θの位置にあり、
θが０から２πまで変化すれば、半径（ｒ／３）の円周上を一回転する。

結局、点Ｇ（ｘ，ｙ）が円周上を一周するかどうかまで確かめなければならないので、問２を避けては通れない。
そのため、問１を解くのを省略して、問２を解いて、
点Ｇ（ｘ，ｙ）は、
中心点

を中心とする、半径

の円周上の偏角θの位置にある
という結論を得る方が効率的に全ての答えが得られる。
その円の方程式は、

とあらわせる。
（解答おわり）

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