以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
以下の問題で言う連続関数とは、１つながりに連続な関数の事を意味するものとする。
【問１】
x≠0のときF(x)が微分可能であって、
F '(x)=0, (1)
が成り立つものとする。
x=0の点でF(x)が連続とは限らないとき、
F(x)を求めよ。
【解答】
ｘ＝０では関数F(x)の値が連続とは限らないので、F '(x)の値が存在しない。
そのためｘ＝０をまたいで関数F '(x)を積分することができない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、関数F '(x)を積分する。
(A) ｘ＞０ の区間で、
F(x)=∫0dx=Ｃ,
(B) ｘ＜０ の区間で、
F(x)=∫0dx=Ｅ,
(C) ｘ＝０ で、
F(x)=Ｈ,
Ｃ，Ｄ，Ｈは任意の定数。
（解答おわり）
【問２】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能であるとは限らないとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【解答】
とする。
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も微分可能である。
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
Ｃは積分定数。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
Ｅは積分定数。
(B) ｘ＝０ の場合：
f(x)がｘ＝０でも連続な連続関数なので、
よって、
C=E=f(0),
(C)
x=0の場合も含め、
f(x)=C，
（解答おわり）
【問３】
関数f(x)が、関数値が無限大には発散しない関数である場合で、
f(x)は連続関数とは限らないとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【解答】
とする。
式１の左辺は無限大には発散しない関数f(x)の積分であるので、リーマン積分が可能である。
その積分結果は連続関数になる。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も連続関数である。
ｘ≠０
で、f(x)も連続である。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
f(x)が連続である。
現時点では、ｘ＝０ではｆ(x)が連続とは限らないので、
式１の左辺で表されるf(x)の積分結果をｘ＝０では微分できない。
しかし、ｘ≠０の点では式１の左辺が微分できる。
そのため、ｘ≠０の点では式１の右辺も微分できる。
式１の左右の辺を微分する。
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
Ｃは積分定数。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
Ｅは積分定数。
(B) ｘ＝０ の場合、
Ｈは積分定数。
各区間で、式５と６と７で定義された関数f(x)が式１を満足する
（解答おわり）
（補足）
この問３の解の関数 f(x) から、ｘ＝０における関数値を除去して、定義域をx≠０とした関数は、
定義域の全ての点で連続であるので、高校数学で教えられている連続関数になります。
しかし、
その関数は、正しい定義の連続関数では無い事に注意してください。
【問４】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能であるとは限らないとき、
を満足する関数f(x)を求めよ。
【解答】
とする。
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺が微分可能であり、関数g(x)=xf(x)の全体も微分可能である。
（f(x)は微分可能とは限らない）
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
Ｃは積分定数。
ここで、式５を式１に代入する。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
Ｅは積分定数。
ここで式８を式１に代入して、場合（Ａ-1）と同様に計算すると、
場合（Ａ-1）と同じ式７（ただし、ｘ＜０の場合）が得られる
(B) ｘ＝０ の場合：
f(x)が連続関数なので、場合（Ａ-1）と場合（Ａ-2)との極限値と関数値が一致し、
となり、
ｘ＝０の場合も、場合（Ａ-1）と同じ式７（ただし、ｘ＝０の場合）で関数値が表される。
以下の問題で言う連続関数とは、１つながりに連続な関数の事を意味するものとする。
【問１】
x≠0のときF(x)が微分可能であって、
F '(x)=0, (1)
が成り立つものとする。
x=0の点でF(x)が連続とは限らないとき、
F(x)を求めよ。
【解答】
ｘ＝０では関数F(x)の値が連続とは限らないので、F '(x)の値が存在しない。
そのためｘ＝０をまたいで関数F '(x)を積分することができない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、関数F '(x)を積分する。
(A) ｘ＞０ の区間で、
F(x)=∫0dx=Ｃ,
(B) ｘ＜０ の区間で、
F(x)=∫0dx=Ｅ,
(C) ｘ＝０ で、
F(x)=Ｈ,
Ｃ，Ｄ，Ｈは任意の定数。
（解答おわり）
【問２】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能であるとは限らないとき、
【解答】
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も微分可能である。
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
(A-2) ｘ＜０ の場合：
(B) ｘ＝０ の場合：
f(x)がｘ＝０でも連続な連続関数なので、
C=E=f(0),
(C)
x=0の場合も含め、
f(x)=C，
（解答おわり）
【問３】
関数f(x)が、関数値が無限大には発散しない関数である場合で、
f(x)は連続関数とは限らないとき、
【解答】
式１の左辺は無限大には発散しない関数f(x)の積分であるので、リーマン積分が可能である。
その積分結果は連続関数になる。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も連続関数である。
ｘ≠０
で、f(x)も連続である。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
f(x)が連続である。
現時点では、ｘ＝０ではｆ(x)が連続とは限らないので、
式１の左辺で表されるf(x)の積分結果をｘ＝０では微分できない。
しかし、ｘ≠０の点では式１の左辺が微分できる。
そのため、ｘ≠０の点では式１の右辺も微分できる。
式１の左右の辺を微分する。
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
(A-2) ｘ＜０ の場合：
(B) ｘ＝０ の場合、
Ｈは積分定数。
各区間で、式５と６と７で定義された関数f(x)が式１を満足する
（解答おわり）
（補足）
この問３の解の関数 f(x) から、ｘ＝０における関数値を除去して、定義域をx≠０とした関数は、
定義域の全ての点で連続であるので、高校数学で教えられている連続関数になります。
しかし、
その関数は、正しい定義の連続関数では無い事に注意してください。
【問４】
f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能であるとは限らないとき、
【解答】
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺が微分可能であり、関数g(x)=xf(x)の全体も微分可能である。
（f(x)は微分可能とは限らない）
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
ここで、式５を式１に代入する。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
ここで式８を式１に代入して、場合（Ａ-1）と同様に計算すると、
場合（Ａ-1）と同じ式７（ただし、ｘ＜０の場合）が得られる
(B) ｘ＝０ の場合：
f(x)が連続関数なので、場合（Ａ-1）と場合（Ａ-2)との極限値と関数値が一致し、
ｘ＝０の場合も、場合（Ａ-1）と同じ式７（ただし、ｘ＝０の場合）で関数値が表される。
(C)
x=0の場合も含めた全ての実数ｘで：
（解答おわり）
【問５】
関数f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能とは限らないとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【解答】
とする。
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も微分可能である。
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
Ｃは積分定数。
ここで、式５を式１に代入する。
式５は（ｘ＞０で）式１を満足する。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
Ｅは積分定数。
ここで式６を式１の代入して場合(A-1)と同様に計算すると、場合(A-1)と同様に、式６が式１を満足することがわかる。
(B) ｘ＝０ の場合、
f(x)が連続関数なので、場合（Ａ-1）と場合（Ａ-2)との極限値と関数値が一致し、
となり、
f(0)=0
になる。
この関係は、 式５でも式６でも表せる。
各区間で、式５と６で定義され、ｘ＝０ではf(x)=0となる連続関数f(x)が式１を満足する
（解答おわり）
【問６】
関数f(x)が連続関数であり、かつ、微分可能なとき、
を満足するf(x)を求めよ。
【解答】
とする。
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も微分可能である。
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
現時点では、ｘ＝０では関数を考えない（定義しない）ので、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
Ｃは積分定数。
ここで、式５を式１に代入する。
式５は（ｘ＞０で）式１を満足する。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
Ｅは積分定数。
ここで式６を式１の代入して場合(A-1)と同様に計算すると、場合(A-1)と同様に、式６が式１を満足することがわかる。
(B) ｘ＝０ の場合、
f(x)が連続関数なので、場合（Ａ-1）と場合（Ａ-2)との極限値と関数値が一致し、
となり、
f(0)=0
になる。
この関係は、 式５でも式６でも表せる。
各区間で、式５と６で定義され、ｘ＝０ではf(x)=0となる連続関数f(x)が式１を満足する
（解答おわり）
リンク：
高校数学の目次
x=0の場合も含めた全ての実数ｘで：
【問５】
関数f(x)が連続関数である場合で、
f(x)は微分可能とは限らないとき、
【解答】
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も微分可能である。
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
ここで、式５を式１に代入する。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
ここで式６を式１の代入して場合(A-1)と同様に計算すると、場合(A-1)と同様に、式６が式１を満足することがわかる。
(B) ｘ＝０ の場合、
f(x)が連続関数なので、場合（Ａ-1）と場合（Ａ-2)との極限値と関数値が一致し、
f(0)=0
になる。
この関係は、 式５でも式６でも表せる。
各区間で、式５と６で定義され、ｘ＝０ではf(x)=0となる連続関数f(x)が式１を満足する
（解答おわり）
【問６】
関数f(x)が連続関数であり、かつ、微分可能なとき、
【解答】
式１の左辺は連続関数の積分であるので、微分積分学の基本定理に従って微分可能である。
よって右辺のxf(x)=g(x)全体も微分可能である。
式１の左右の辺を微分する。
（A)場合分け ｘ≠０ の場合：
(3)から、
ｘ＝０をまたいだ関数の積分はできない。
しかし、
ｘ＞０の範囲内のみならば積分が可能であり、
ｘ＜０の範囲内のみならば積分が可能である。
そのためそれらの区間毎に場合分けして、式４の左右の辺を積分して関数を調べる。
(A-1) ｘ＞０ の場合：
ここで、式５を式１に代入する。
(A-2) ｘ＜０ の場合：
ここで式６を式１の代入して場合(A-1)と同様に計算すると、場合(A-1)と同様に、式６が式１を満足することがわかる。
(B) ｘ＝０ の場合、
f(x)が連続関数なので、場合（Ａ-1）と場合（Ａ-2)との極限値と関数値が一致し、
f(0)=0
になる。
この関係は、 式５でも式６でも表せる。
各区間で、式５と６で定義され、ｘ＝０ではf(x)=0となる連続関数f(x)が式１を満足する
（解答おわり）
リンク：
高校数学の目次
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