tan(x/2)を変数tに置換して計算しない方が良い積分

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問２】
以下の不定積分を求めよ。


【解答】
この問題を、
tan(x/2)=ｔという変数変換を導入しないで以下の様に解きます。

　すなわち、cos(x)+sin(x)=(√2)sin(x+π/4)というまとまった１つの三角関数を利用して、その１つの三角関数を使って式を書き直します。
　sin(x+π/4)と書くよりは、(cos(x)+sin(x))と書く方が式が単純になるので、(cos(x)+sin(x))を１まとまりの項として扱って、以下の様に計算します。



（解答おわり）
なお、「無理関数の式への因数分解の公式」のページの以下の式が成り立つ。



（補足）
　なお、ここで、tan(x/2)=ｔとする変数ｔに置換して積分の計算をすると、その積分の解が、上式の様な単純な形では表されずに、もつれた形の解になります。そのもつれた形の式が上式の解と等しくなる法則を研究するのも興味深いことだと思います。

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