直交ベクトル系を見出して解く問題

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　半径 r の球面上に 4 点 A, B, C, D がある。四面体 ABCD の各辺の長さは,
AB = √ 3 , AC = AD = BC = BD = CD = 2
を満たしている。このとき r の値を求めよ。

【解答】
　線分ABの中点をMとし、線分CDの中点をNとし、球の中心をOとする。ベクトルMAをベクトルａであらわし、ベクトルＮＣをベクトルｃであらわし、ベクトルＯＭをベクトルｍであらわすと、
問題の四面体ABCDと球の中心Oをあらわす図が、下図のベクトルの図でパラメータｓを使ってあらわせる。

この問題では、AC = AD = BC = BD = CD = 2であることから、ベクトルａとｃとｍは互いに垂直なベクトル系を成し、以下の式が成り立つ。 （以下でベクトルｍの大きさをパラメータｔであらわす）

以下で、この式(1)(2)(3)の連立方程式を解いて、球の半径ｒを計算する。
式(1)の両辺を２乗して以下の式を得る。

式(2)の両辺を２乗して以下の式(5)を得る。

式(3)の両辺を２乗して以下の式(6)を得る。

以下の計算を進める。



以上で、球の半径ｒが求められた。
（解答おわり）

（補足）
　以上の計算でスムーズに計算が進められたのは、直交ベクトル系（ベクトルａ、ベクトルｃ、ベクトルｍ）を使って問題を解いたからです。
　ベクトルで問題を解くときは、直交ベクトル系を見出して解くのが一番解きやすいです。
　直交ベクトル系を使って問題を解く方法は、解き方の構造が、直交座標系を導入して解く方法と同じになります。直交ベクトル系か、直交座標系を導入して解く方法は、問題の解き方の自由度が高くて確実に解ける堅実な解き方だと思います。

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