３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
ｋの値を求めよ。
　言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
　更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。

【解答】
　４点ＯＡＢＣが同一平面上にある場合、ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。

ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせます。

そして、ベクトルＯAとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にある条件は、（ベクトルOAとベクトルOBが平行でないときは）以下の式(4)であらわせます。

この式(4)を以下のように解きます。



これで、パラメータｋの値が求まった。
（解答おわり）

【問２】
問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。

【解答】
　先ず、以下の式が成り立つ。

ベクトルＯＰを以下の２通りにあらわす。

この２つのあらわし方のベクトルＯＰを等しいとする下のベクトル方程式(25)を記述して解く。
（ただし、下のベクトル方程式(25)が解を持つためには、３つのベクトルOA,AB,OCが同一平面上にあることが必要です）

（解答おわり）

【問３】
　空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に、各点の位置ベクトルの間にある関係を求めよ。

【解答】
　空間内の４点ＡＢＣＰが同一平面上にある場合、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある。
　空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある条件は、（ベクトルＡＢとベクトルＡＣが平行でないときは）以下の式(1)であらわせる。 　

ここで、空間内の点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを以下の式であらわす。

そうすると、空間内の点Ｐの位置ベクトルＯＰは、以下の式であらわせる。

ここで、この式のベクトルの係数の間に以下の関係が成り立つ。

この式は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に必ず成り立つ必要条件である。
（必要条件）

　次に、係数の和が１となることが、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件でもあることを示す。
先ず、以下の式(2)と(3)が成り立つものとする。

すなわち、式(2)と(3)が成り立つ場合に、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣによって空間ベクトルＡＰがあらわされる式(4)が成り立つ。式(4)は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある条件である。
よって、式(2)と(3)が成り立つことは、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件である。
（十分条件）
（解答おわり）

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