確率の和を計算して漸化式を求める

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　袋の中に赤玉が3個、白玉が7個入っているとする。
1回の試行において、赤玉を取り出したら代わりに白玉を入れ、白玉を取り出したら代わりに赤玉を入れるとする。
Pnをn回目に赤玉を取り出す確率とする。Pnを求めよ。

【解答】
　先ず、P１を計算する。
P1=3/10,　(1)
次に、P2 を計算する。
（注意）以下の式(2)を導出する計算は、Ｐ1の値 が式(1)の値以外の場合でも成り立つ。

式(2)により、P2 を P1 であらわす式が得られた。

次に、P3 を計算する。
　以下の図で考察し、ｎ回目に玉を取り出して所定の玉を補充した後で赤玉の数が縦軸で示す数になる確率をｋ(n,i) とする。そして、ｋ(n,i) の状態の次に、n+1 回目に赤玉が取り出される確率をＤ(n,i) とする。ここで、Ｐ2は、もともとは、以下の式であらわされる。


Ｐ3の４つの項のうちｋ11の点から生じる２つの項の和を以下の式で計算する。

Ｐ3の４つの項のうちｋ12の点から生じる残り２つの項の和を以下の式で計算する。

よって、Ｐ3 を構成する４つの項の総和が、１回目の操作の結果の赤玉の数毎の確率k11と確率k12の重みの積で与えられ、以下の式で計算できる。

Ｐ4も上記のように計算した。
次に、以上の計算を種にして、全てのｎに係わる確率Ｐn の漸化式を求める。

Ｐn をあらわす式を求める。

式(10)を用いて計算したＰ2, Ｐ3 が先に求めた解と一致した。
式(10)が、求めるＰn の解である。
（解答おわり）

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