複素数平面のベクトル方程式の解

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、αおよびβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

【解答】
この問題は、複素数のベクトル方程式です。
なぜなら、以下の様に、２つのベクトルをあらわす複素数の実数係数の和の形のベクトル方程式の形をしているからです。

（１）先ず、複素数のあらわすベクトルが互いに平行では無い、独立したベクトルである場合について解きます。

このとき、このベクトル方程式の解は、互いに独立なベクトルの係数の総和Ａ、およびＢ、が０の解をもちます。

（１－１）このうち、αに関する式は、以下の様に計算できます。

 

この式は「複素数平面上のベクトルの内積の式」の形をしていて、ベクトルの内積が０になることを表しています。すなわち、αの描く図形は、原点と－２の点を結んだ線分を直径にする円になります。ただし、最初の方程式を成立させるため、原点の０は除きます。

（別解）この式の解釈は、以下の式の変形方法の方が読者になじみが深いのではないかと思う。

よって、ー１の点を中心にした半径１の円を描く（ただし、原点の０を除く）。

（１－２）次に、βの式を計算します。

 βは虚軸上の直線を描きます。ただし、原点の０は除きます。

（２）次に、複素数のあらわすベクトルが互いに平行な場合を考えます。

 この場合は、以下の様に計算できます。

 （解答おわり）

（補足）

　この問題の式が以下の式に変形されている場合も、最初の式の形に、すなわち、２つのベクトルの実数係数の和の形に変形して問題を解けるように練習しておきましょう。

 以下の式の場合も同様に、２つのベクトルの実数係数の和の形の最初の式の形に変形して問題を解けるようになりましょう。

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