2015年5月19日火曜日

複素数平面のベクトル方程式の解

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、αおよびβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

【解答】
この問題は、複素数のベクトル方程式です。
なぜなら、以下の様に、2つのベクトルをあらわす複素数の実数係数の和の形のベクトル方程式の形をしているからです。
(1)先ず、複素数のあらわすベクトルが互いに平行では無い、独立したベクトルである場合について解きます。
このとき、このベクトル方程式の解は、互いに独立なベクトルの係数の総和A、およびB、が0の解をもちます。

(1-1)このうち、αに関する式は、以下の様に計算できます。
すなわち、αの描く図形は、原点と-2の点を結んだ線分を直径にする円になります。ただし、最初の方程式を成立させるため、原点の0は除きます。

(1-2)次に、βの式を計算します。

 βは虚軸上の直線を描きます。ただし、原点の0は除きます。

(2)次に、複素数のあらわすベクトルが互いに平行な場合を考えます。
 この場合は、以下の様に計算できます。
 (解答おわり)

(補足)
 この問題の式が以下の式に変形されている場合も、最初の式の形に、すなわち、2つのベクトルの実数係数の和の形に変形して問題を解けるように練習しておきましょう。
 以下の式の場合も同様に、2つのベクトルの実数係数の和の形の最初の式の形に変形して問題を解けるようになりましょう。

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