正５角形の問題の解答

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複素数平面において半径１の円に内接する正５角形を考える。


Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とする。


【問１】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）｜＝５
すなわち、
ａｂａｂ＝５
を証明する。

【問２】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
すなわち、
ａ^２＋ｂ^２＋ｂ^２＋ａ^２＝１０
を証明する。

【問３】図の長さｓを計算せよ


（解答）
【問１】
Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とすると、
０＝Ｘ^５－１
＝（Ｘ－Ｘ_０）（Ｘ－Ｘ_１）（Ｘ－Ｘ_２）（Ｘ－Ｘ_３）（Ｘ－Ｘ_４）　（式１）
の関係が成り立ち、
それらの解を複素数平面上であらわした点を結ぶと正５角形になる。
式１を用いると以下の式２が得られる。
問１の式の左辺の絶対値の中の式はその式２のＸを１に置き換えた式の左辺である。
（Ｘ－Ｘ_１）（Ｘ－Ｘ_２）（Ｘ－Ｘ_３）（Ｘ－Ｘ_４）＝（Ｘ^５－１）／（Ｘ－１）
＝Ｘ^４＋Ｘ^３＋Ｘ^２＋Ｘ＋１　（式２）
ここで、
Ｘ＝１
とすると、
（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）＝５
（証明おわり）

（解答）
【問２】

Ｘ^５－１＝０
のＸの４乗の項の係数が０であるので、
５次方程式の根と係数の関係から、

式４を式３に代入すると
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
（証明おわり）

（解答）
【問３】

ｓ^２＝ＢＣ^２＝ＡＣ^２－ＡＢ^２

ここで、ａは以下のようにして求めることができる。
問１の結果から、
ａ^２ｂ^２＝５　（６）
問２の結果から、
ａ^２＋ｂ^２＝５　（７）
ａ^２とｂ^２を求めるｔの式を根と係数の関係を利用して作る。
０＝（ｔ－ａ^２）（ｔ－ｂ^２）
＝ｔ^２－（ａ^２＋ｂ^２）ｔ＋ａ^２ｂ^２
ここで、式６と式７を代入する。
０＝ｔ^２－５ｔ＋５　（８）
この式８を解く。

ａ^２は式８の解のうち小さい方の値であるので、

式９を式５に代入する。

（解答おわり）

（話の追加）
ｓの長さがわかったので、例えば下図のようにこの長さｓを作図して、その長さを使って正５角形を作図できる。

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