2015年4月28日火曜日

複素数平面を利用して問題を易しくする

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問1】
 xy平面の放物線 y=x上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
△PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。


【解】
 先ず、この問題を図形に描いてみます。


 次に、この問題の図形がどう変形して問題の条件に合う図形になるか、少し図形を描いて考える。

正三角形PQRは、線分PQの垂直二等分線上に点Rがある。
また、傾き√2の線分PQを、点PとQを放物線上に置いて平行移動させても、線分PQの中点のx座標は変わらない。
その中点のx座標の値をbとおく。

 線分PQのx軸上への射影の長さを2tとする。
そうすると、求めるべき三角形PQRの辺の長さaは、tの2√3倍である。

 このbとtを使ってP,Qのx座標をあらわしてみる。
 次に、三角形PQRが正三角形になる条件を、複素数平面の以下の式で表現する。

この式の意味は、
「点Pを中心にして、ベクトルPQを、長さを変えずに左回りに(π/3)の角度回転させると、正三角形の頂点Rを与えるベクトルPRになる。」
という意味の式です。

(このように、複素数平面では複素数の掛け算がベクトルの角度を変えるという性質を利用すると、正三角形になるという条件が楽に導入できました。)

 この式は、実部と虚部をともに一致させる式であるので、2本の式に相当します。
 この式と先の式①(あるいは式②と③)を連立させると、未知な点P,Q,Rの3つの座標を確定させる3つの式がそろった。

 そのため、これらの式を連立させることで問題が解けると考える。

 以下で、この複素数の式を整理して式を単純化する。
 この式の左右を一致させるのは、
(1)実部が一致すること。
(2)実部に対する虚部の比が一致すること。
です。
 (2)から先に計算してみます。
この式⑤と⑥を、②と③を代入してtであらわしてみます。
⑦と⑧を連立させてxを消去する。
これから、tを計算する。
これで、求めるaの値が計算できた。
(解答おわり)

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