複素数平面を利用して問題を易しくする

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問１】
　xy平面の放物線 ｙ＝ｘ^２上の３点P，Q，Rが次の条件を満たしている。
△ＰＱＲは一辺の長さａの正三角形であり、点P，Qを通る直線の傾きは√２である。
このとき、ａの値を求めよ。

【解】
　先ず、この問題を図形に描いてみます。


　次に、この問題の図形がどう変形して問題の条件に合う図形になるか、少し図形を描いて考える。

正三角形ＰＱＲは、線分ＰＱの垂直二等分線上に点Ｒがある。
また、傾き√２の線分ＰＱを、点ＰとＱを放物線上に置いて平行移動させても、線分ＰＱの中点のｘ座標は変わらない。
その中点のｘ座標の値をｂとおく。

　線分ＰＱのｘ軸上への射影の長さを２ｔとする。
そうすると、求めるべき三角形ＰＱＲの辺の長さａは、ｔの２√３倍である。

　このｂとｔを使ってＰ，Ｑのｘ座標をあらわしてみる。

　次に、三角形ＰＱＲが正三角形になる条件を、複素数平面の以下の式で表現する。

この式の意味は、
「点Ｐを中心にして、ベクトルＰＱを、長さを変えずに左回りに（π／３）の角度回転させると、正三角形の頂点Ｒを与えるベクトルＰＲになる。」
という意味の式です。

（このように、複素数平面では複素数の掛け算がベクトルの角度を変えるという性質を利用すると、正三角形になるという条件が楽に導入できました。）

　この式は、実部と虚部をともに一致させる式であるので、２本の式に相当します。
　この式と先の式①（あるいは式②と③）を連立させると、未知な点Ｐ，Ｑ，Ｒの３つの座標を確定させる３つの式がそろった。

　そのため、これらの式を連立させることで問題が解けると考える。

　以下で、この複素数の式を整理して式を単純化する。

　この式の左右を一致させるのは、
（１）実部が一致すること。
（２）実部に対する虚部の比が一致すること。
です。
　（２）から先に計算してみます。

この式⑤と⑥を、②と③を代入してｔであらわしてみます。

⑦と⑧を連立させてｘ_３を消去する。

これから、ｔを計算する。

これで、求めるａの値が計算できた。
（解答おわり）

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