ｒとｓが線分ｏｚに関して対称な位置にある証明

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【問】
　複素数ｒとｓとｚに関して以下の式が成り立つとき、
ｒとｓが線分ｏｚに関して対称な位置にあることを示せ。

【解答１】

ベクトルｒとＳの、ベクトルＺへの正射影が等しく、ベクトルｒとＳの、ベクトルＺに垂直なベクトルへの正射影が、
符号が逆で絶対値は等しい。
そのため、ｒの絶対値とＳの絶対値が等しい。
また、三角形OｒＺと三角形OＳＺは合同である。
そのため、
ｒとＳは線分ＯＺに関して対称な位置にある。
（証明おわり）

【解答２】
以下の関係が成り立つ。

よって、ベクトル（ｒ＋ｓ）がベクトルＺに平行である。
ベクトルｒとＳの和がベクトルＺに平行なので、
ベクトルｒとＳの、ベクトルＺに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しい。
また、

が成り立つ。
そのためベクトルｒとＳの、線分ＯＺへの正射影が等しい。そのため、ｒとＳは、線分ＯＺに垂直な１つの直線上にある。
また、
ベクトルｒとＳの、線分ＯＺに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しいので、
ベクトルｒとＳは線分ＯＺに関して対称なベクトルである。
（証明おわり）

【解答３】

上図において、直線OZに関して点ｓと点Ｒが線対称な位置にあるものとする。
その四角形ＯＳＺＲの各点の複素数を複素数ｚで割り算する。
得られた複素数があらわす四角形Ｏ(s2)(z2)(r2)は、四角形ＯＳＺＲに相似な第２の図になる。その点(s2)と点(r2)の複素数は互いに共役な複素数になる。そのため、以下の公式が成り立つ。

（公式の導出おわり）

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複素数平面の計算公式を使って円周角の定理を示す

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【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

【解答１】
　この問題は、ベクトルの難問ですが、
複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
先ず、図を以下の図に書き換えて問題を解きます。

上図において、

という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。

ここで式の項を置き換えたＡは実数です。
更に計算を進めます。

 ここで、Ｂは実数である。
（解答１おわり）

【解答２】
以下の計算公式が成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算ができる。

（解答２おわり）

　以上のように、複素数平面の計算公式により、円周角の定理を簡単に示すことができました。
　ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

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ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
複素数計算の公式を覚える
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