立体図形のややこしい問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（ややこしい問題）

　上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。

（注意）
　この問題は、良く整理して解かないと、計算の森に迷い込むややこしい問題です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。このややこしい問題を自力で解いてから解答を見てください。

（解けるまで解答を見ない理由）
　出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

　そのため、このややこしい問題を学ぶ目的は、
この問題を簡単に解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。

　そのため、この問題を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、問題を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

（解答の方針） 
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
　そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。
（３）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。

【解答】
　この立体問題を簡単な形の、２つの平行する面に変換して解きます。

（１）上図のように、平行する面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦを考える。
それら２つの面と面ＡＰＲＱの交線はＡＱとＰＲです。
面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦは平行なので、
交線ＡＱとＰＲも平行です。
（２）次に、面ＢＣＧＦ上で、面ＡＰＲＱ上の１本の直線ＰＲに垂直な第２の面を考える。
第２の面は、直線ＰＲに垂直な直線ＣＴを含む面にすれば良い。
（３）第２の面は面ＢＣＧＦ上の直線ＰＲに垂直なので面ＢＣＧＦに垂直である。そのため、第２の面は、面ＢＣＧＦの垂線ＣＤを含む面ＣＴＳＤである。
（３ａ）そして、その第２の面と面ＡＤＨＥの交線ＤＳは、面ＡＤＨＥが面ＢＣＧＦに平行なので、その第２の面と面ＢＣＧＦの交線ＣＴに平行である。
　そのため、第２の面ＣＴＳＤは長方形である。

（４）第２の面ＣＴＳＤは、 面ＡＰＲＱと直線ＪＫで交差する。
（５）第２の面ＣＴＳＤ上の直線ＪＫに垂直な直線ＣＬが、求めるべき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線である。
そして、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さは、線分ＣＬの長さである。

（６）以上の考察で、解答の道筋が分かったので、次に、詳しい計算を開始する。

上図で、線分の長さを①、②、③の順に計算した。
よって、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さ

 が求められた。
（解答おわり）

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相似図形の難問の解き方

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

　上図のように、円周上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、弧ＡＢ＝弧ＣＤである。
また、線分ＣＥと線分ＢＤの交点をＦ、線分ＣＥと線分ＡＤの交点をＧとし、線分ＤＥ上にＢＤ//ＧＨとなる点Ｈをとる。
ＥＧ＝ＧＦ，ＧＨ＝３のとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。

（注意）
　この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。

（解けるまで解答を見ない理由）
　出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

　そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。

　そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

（解答の方針） 
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
　そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）図形の難問は、図形を完成させてから解く。
（３）相似図形があったら、その相似図形の辺の関係式を全て書いて、その式を自分で見て考えられるようにする。

　そのため、先ず、この問題を簡単な形の、以下の【問２】に変換して解きます。

【問２】

点Ｂ，Ｃ，Ｆを一点にする。そしてＣＥを円の直径にする。
ＡＢ＝ＣＤなので線分ＡＤはＣＥに垂直である。
また、ＦＧ＝ＧＥにするために、線分ＡＤは円の中心を通る直径にする。
このときｘを求めよ。

【解答】
図からｘの値がすぐわかる。

 （解答おわり）

【問１】（難問）
　解答がわかったので、その解答を、問１で導く。

 ＥＧの長さを求めよ。

【解答】

　以下のように、問題の条件を上図に書き込む。

更に補助線を加えて、同じ円周角を書きこんで図形を完成させる。

　完成させた図形を見ると、３頂角が等しいので三角形ＥＧＤと三角形ＧＨＤが相似だとわかる。
　２つの図形が相似だと分かったら、相似な図形の辺の関係の式を全部記載して、自分が式を見て考えられるようにする。

上の式は、以下の式１と式２の連立方程式を含んでいる。

連立方程式を解いたら解答が得られた。
（解答おわり）

【別解】
この問題の以下の相似図形を見つけて解答することもできる。

 
（解答おわり）

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作図の難問の解き方

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

　上図のように、円Ｏと円Ｏの周上にない２点Ａ，Ｂがある。
　円Ｏの直径ＰＱをひいたとき、ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱを１つ、定規とコンパスを用いて作図し、点Ｐおよび点Ｑの位置を示す文字Ｐ，Ｑも書きなさい。
　ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

（注意）
　この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。

（解けるまで解答を見ない理由）
　出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

　そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。

　そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

（解答の方針） 
　難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
　そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
　そのため、先ず、この問題を簡単な形の、以下の【問２】に変換して解きます。

【問２】


 ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。

【解答】 
図の不足を埋めて以下の図を書きます。

この図のように、
ＡＰ＝ＢＱとするには、ＡＢを幅にする帯で、直線ＡＯに垂直な帯を書く。
その帯と同じ幅の帯を円の中心Ｏを中心にして書く。
その帯の右の縁と円Ｏの交点をＰとし、
帯の左の縁と円Ｏの交点をＱとする。
するとＡＰ＝ＢＰ
になることがわかる。
これで、点ＰとＱの位置が求められた。
（解答おわり）

【問３】
　次に、Ａ点とＢ点を少しだけ上下にずらした問題を考える。

  ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。

【解答】
  この問題の図を見ると、問１と同じように、ＡＢの中点とＯ点を結ぶ直線に垂直な帯を考えれば解けることがわかる。

この図のように、
ＡＰ＝ＢＱとするには、ＡＢの中点とＯ点を結ぶ直線に垂直な帯で、
その帯の右の縁を点Ａを通らせ、
帯の左の縁を点Ｂを通らせる。
そうすると、 
ＡＢの中点とＯ点を結ぶ直線からの、上の点Ａまでの高さと、
その直線からの、下の点Ｂまでの高さ（低さ）が
同じ長さになる。

その帯と同じ幅の帯を円の中心Ｏを中心にして書く。
その帯の右端と円Ｏの交点をＰとし、
帯の左端と円Ｏの交点をＱとする。
するとＡＰ＝ＢＰ
になることがわかる。
これで、点ＰとＱの位置が求められた。
（解答おわり）

【問４】
　次に、Ａ点とＢ点を大きく上下にずらした問題を考える。

 ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。

【解答】
  この問題の図を見ると、問２と同じように、ＡＢの中点ＣとＯ点を結ぶ直線ＣＯに垂直な帯を考えれば解けることがわかる。

この図のように、
ＡＰ＝ＢＱとするには、直線ＣＯに垂直な帯で、
その帯の右の縁を点Ａを通らせ、
帯の左の縁を点Ｂを通らせる。
そうすると、 
直線ＣＯからの、上の点Ａまでの高さと、
その直線からの、下の点Ｂまでの高さ（低さ）が
同じ長さになる。

その帯と同じ幅の帯を円の中心Ｏを中心にして書く。
その帯の右端と円Ｏの交点をＰとし、
帯の左端と円Ｏの交点をＱとする。
するとＡＰ＝ＢＰ
になることがわかる。
これで、点ＰとＱの位置が求められた。
（解答おわり）

【問１】（難問）
　問４の解き方を整理すれば、以下の手順で問１が解ける。

 ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。

【解答】

この図のように、先ずＡＣの中点Ｃを求める。
次に、以下の図を書いて、点ＰとＱの位置を求める。

この図のように書くと、ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点ＰとＱの位置が求められる。
（解答おわり）

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