立体図形のややこしい問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（ややこしい問題）

　上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。

（注意）
　この問題は、良く整理して解かないと、計算の森に迷い込むややこしい問題です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。このややこしい問題を自力で解いてから解答を見てください。

（解けるまで解答を見ない理由）
　出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

　そのため、このややこしい問題を学ぶ目的は、
この問題を簡単に解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。

　そのため、この問題を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、問題を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

（解答の方針） 
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
　そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。
（３）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。

【解答】
　この立体問題を簡単な形の、２つの平行する面に変換して解きます。

（１）上図のように、平行する面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦを考える。
それら２つの面と面ＡＰＲＱの交線はＡＱとＰＲです。
面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦは平行なので、
交線ＡＱとＰＲも平行です。
（２）次に、面ＢＣＧＦ上で、面ＡＰＲＱ上の１本の直線ＰＲに垂直な第２の面を考える。
第２の面は、直線ＰＲに垂直な直線ＣＴを含む面にすれば良い。
（３）第２の面は面ＢＣＧＦ上の直線ＰＲに垂直なので面ＢＣＧＦに垂直である。そのため、第２の面は、面ＢＣＧＦの垂線ＣＤを含む面ＣＴＳＤである。
（３ａ）そして、その第２の面と面ＡＤＨＥの交線ＤＳは、面ＡＤＨＥが面ＢＣＧＦに平行なので、その第２の面と面ＢＣＧＦの交線ＣＴに平行である。
　そのため、第２の面ＣＴＳＤは長方形である。

（４）第２の面ＣＴＳＤは、 面ＡＰＲＱと直線ＪＫで交差する。
（５）第２の面ＣＴＳＤ上の直線ＪＫに垂直な直線ＣＬが、求めるべき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線である。
そして、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さは、線分ＣＬの長さである。

（６）以上の考察で、解答の道筋が分かったので、次に、詳しい計算を開始する。

上図で、線分の長さを①、②、③の順に計算した。
よって、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さ

 が求められた。
（解答おわり）

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