2017年11月23日木曜日

作図の難問の解き方

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】(難問)
 上図のように、円Oと円Oの周上にない2点A,Bがある。
 円Oの直径PQをひいたとき、AP=BQとなる直径PQを1つ、定規とコンパスを用いて作図し、点Pおよび点Qの位置を示す文字P,Qも書きなさい。
 ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。


(注意)
 この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。

(解けるまで解答を見ない理由)
 出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

 そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。

 そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後(解けないで寝て良い)寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

(解答の方針) 
 難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
 そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
 そのため、先ず、この問題を簡単な形の、以下の【問2】に変換して解きます。

【問2】


 AP=BQとなる直径PQの点の位置を求める。

【解答】 
図の不足を埋めて以下の図を書きます。
この図のように、
AP=BQとするには、ABを幅にする帯で、直線AOに垂直な帯を書く。
その帯と同じ幅の帯を円の中心Oを中心にして書く。
その帯の右の縁と円Oの交点をPとし、
帯の左の縁と円Oの交点をQとする。
するとAP=BP
になることがわかる。
これで、点PとQの位置が求められた。
(解答おわり)

【問3】
 次に、A点とB点を少しだけ上下にずらした問題を考える。
  AP=BQとなる直径PQの点の位置を求める。

【解答】
  この問題の図を見ると、問1と同じように、ABの中点とO点を結ぶ直線に垂直な帯を考えれば解けることがわかる。

この図のように、
AP=BQとするには、ABの中点とO点を結ぶ直線に垂直な帯で、
その帯の右の縁を点Aを通らせ、
帯の左の縁を点Bを通らせる。
そうすると、 
ABの中点とO点を結ぶ直線からの、上の点Aまでの高さと、
その直線からの、下の点Bまでの高さ(低さ)が
同じ長さになる。

その帯と同じ幅の帯を円の中心Oを中心にして書く。
その帯の右端と円Oの交点をPとし、
帯の左端と円Oの交点をQとする。
するとAP=BP
になることがわかる。
これで、点PとQの位置が求められた。
(解答おわり)

【問4】
 次に、A点とB点を大きく上下にずらした問題を考える。
 AP=BQとなる直径PQの点の位置を求める。

【解答】
  この問題の図を見ると、問2と同じように、ABの中点CとO点を結ぶ直線COに垂直な帯を考えれば解けることがわかる。

この図のように、
AP=BQとするには、直線COに垂直な帯で、
その帯の右の縁を点Aを通らせ、
帯の左の縁を点Bを通らせる。
そうすると、 
直線COからの、上の点Aまでの高さと、
その直線からの、下の点Bまでの高さ(低さ)が
同じ長さになる。

その帯と同じ幅の帯を円の中心Oを中心にして書く。
その帯の右端と円Oの交点をPとし、
帯の左端と円Oの交点をQとする。
するとAP=BP
になることがわかる。
これで、点PとQの位置が求められた。
(解答おわり)

【問1】(難問)
 問4の解き方を整理すれば、以下の手順で問1が解ける。
 AP=BQとなる直径PQの点の位置を求める。

【解答】
この図のように、先ずACの中点Cを求める。
次に、以下の図を書いて、点PとQの位置を求める。
この図のように書くと、AP=BQとなる直径PQの点PとQの位置が求められる。
(解答おわり)

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